Un Joil Exo de Suites ... Cesaro & Cie ??!!

BJR à Toutes et Tous !!

Il m'a été soumis par une de mes Connaissances , un joli exo du reste ...
Je dois avouer que , simple qu'il est , j'ignore la solution , ni comment amorcer un début de solution !!

Il s'agit de :

Soit (Un)n une suite de IR+* indexée sur IN* .
On suppose que :

Lim {(U1+U2+......+Un)/(n.Un)} = a lorsque n ------>+oo

Montrer alors que :

Lim {(U1+2.U2+......+n.Un)/(n^2.Un)} = a/(1+a) lorsque n ------>+oo

Merci Beaucoup pour Vos Contributions !!

LHASSANE

BJR
Un>0 qqs n
On pose
An=U1+U2+......+Un
Bn=U1+2.U2+......+n.Un
Cn=A1+A2+......+An


Bn=U1+2.U2+......+n.Un
=Sum(k=1 à n) k.(Ak-A(k-1)) avec A0=0
=Sum(k=1 à n) k.Ak- Sum(k=1 à n) k.A(k-1)
=Sum(k=1 à n) k.Ak- Sum(k=1 à n-1)( k+1).Ak
=(n+1).An - Cn

Bn/n²Un= (n+1)/n.An/nUn- Cn/n²Un

(n+1)/n.An/nUn ----> a
On doit montrer que Cn/n²Un --> a²/(1+a)

BJR A.ATTIOUI !!

Merci pour votre intervention ....
Elle est drôlement alambiquée en fait , je vais tâcher de continuer seul .....
En fait vous avez remplacé

le Pb :
Lim {(U1+2.U2+......+n.Un)/(n^2.Un)} = a/(1+a) n ---->+oo

par un autre :
Lim {(A1+A2+......+An)/(n^2.Un)}= a²/(1+a) n ---->+oo

Reste à voir si c'est plus simple !!

Merci et à bientôt !! LHASSANE

Bonjour Lhassane et Abdelbaki,
C'est un bel exercice.
Je suppose d'abord a>0. Je garde les notations introduites par Abdelbaki,
De An ~ a*n*Un on déduit que Cn ~ a*Bn (par sommation des équivalents).
Avec Bn+Cn=(n+1)An ~ a*n²*Un on déduit (1+a)Bn ~ a*n²*Un qui donne bien la limite demandée.

Si a=0 on a An=o(n*Un) d'où Cn=o(Bn). On a donc Bn+o(Bn)=o(n²*Un) qui donne bien la limite demandée.

je me suis amusé à taper ma solution avec Latex,peut être tout ce que j'ai fait est déjà dit....alors désolé pour le pourissage.
voici le lien:
http://cjoint.com/data/dnbvPSUviA.htm