inegalite

prouver qu'il execite deux nombres reels a et b avec

Tu es certain que l'énoncé est correct ? Si oui, il suffit de prendre a=2 et b=1 pour que la fraction (a-b)/(1+ab) soit égale à 1/3. Or, 0<1/3<Rac(2)-1.

EDIT : Des fois, je me demande si les énoncés s'affichent entièrement sur mon écran...

Le vrai problème c'est :
On considère 13 nombres réels deux à deux distincts. Prouver que, parmi ces nombres, il existe deux réels a et b vérifiant :
0<(a-b)/(1+ab)=<2-V3

PS : V3 est la racine carrée de 3

Je crois que j'ai une idée mais pas sûr !
D'abord remarquant que :

Notons les 13 nombres réels : x_1,x_2..x_13
t.q x_1>x_2>..>x_13

Soit a_i 13 réels différent de pi/2+kpi tq pour tous i de [|1,13|]
On a x_i = tan(a_i)

Maintenant considérons l'intervalle [0,pi]
On coupe ce dernier à 12 intervalles [0,pi/12],[pi/12,2pi/12]..[11pi/12,pi]

Posons :

Et notons que chaque r appartient à un intervalle de l'un des 12 déjà cité !
Puisque il existe 13 nombres alors par le principe des tiroirs il existe au moin 2 r_i r_j qui appartiennent au même intervalles
Ainsi on aura :

Car on peut tjr supposer que ri-rj>0
Donc on a:

Et puisque :a_i-a_j<= 2k'p+pi/12
Alors :

CQFD .

Pour la question initiale je pense que c'est parmi 9 réels qu'on peut toujours en trouver 2 t.q 0<a-b/ab+1<=V2-1
Psk tan(pi/8 )=V2-1
Et on procède par la même méthode !