Deux inégalités:

Premièrement:
x et y sont deux réels positifs, montrez que:
.
Deuxièmement:
Montrez que pour tout réels x et y, on a .
Bonne chance.

pour la deuxième une petite rectification : (x,y)#(0,0)

la première:

en déduire..
la deuxième:
si x,y>0 ou x,y<0 l'inégalité est donc triviale
il nous reste donc le cas où l'un est négatif ,par symétrie des rôles supposons que x est positif et y est négatif.
en posant y=-a (a>0) l'inégalité devient:

ce qui est trop trivial.....je crois qu'il y a qlq chose qui manque dans cette inégalité là...car on peut remarquer facilement une inégalité plus forte.....
celle ci par exemple (à prouver):montrer pour tous x et y des réels que:

slt noirouge:


<==> (x/y+1)²(x/y-1/2)²+3/4(x/y+1)²>=0

regulator a écrit:

slt noirouge:


<==> (x/y+1)²(x/y-1/2)²+3/4(x/y+1)²>=0

non vérifie tes calculs en effet:

NB.l'inégalité que j'ai proposée est vraiment simple

noirouge a écrit:

la première:

en déduire..
la deuxième:
si x,y>0 ou x,y<0 l'inégalité est donc triviale
il nous reste donc le cas où l'un est négatif ,par symétrie des rôles supposons que x est positif et y est négatif.
en posant y=-a (a>0) l'inégalité devient:

ce qui est trop trivial.....je crois qu'il y a qlq chose qui manque dans cette inégalité là...car on peut remarquer facilement une inégalité plus forte.....
celle ci par exemple (à prouver):montrer pour tous x et y des réels que:

Nous avons pour :

Et pour clairement :
Et donc l'inégalité équivaut à quelque chose de correct ce qui la rend correcte à son tour, CQFD.
Sauf erreur.
Au plaisir !

Pour la deuxième on peut poser ...

il n'y a pas un cas d'égalité , mais l'inégalité réste vrai

Vos réponse sont justes.
Le but du deuxième exercice était de remarquer qu'elle équivaut à a²+a+1>=0.
Il n'y a pas un cas d'égalité.

1/ On a x+y=<2V[(x²+y²)/2] <=> V2(x+y)=<2V(x²+y²)=<x²+y²+1
D'ou le résultat.

2/ Il suffit de remarquer que x^4+y^4/x²*y²=x²/y²+y²/x²>=(x+y)²/xy.