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Sujet: encore deux belles inégalités Ven 15 Juin 2007, 16:04
-Soient x1, x2,…, x10 des réels tels que sin²(x1) +…+sin²(x10)=1 et 0=<x1,..,x10=<pi/2. Prouver que (cos(x1) +…+cos(x10))/ (sin(x1) +…+sin(x10))>=3.
-Soient a, b, c>0. Prouver que : (a^3+abc)/ (b+c) + (b^3+abc)/(c+a) +(c^3+abc)/ (a+b)>=a²+b²+c².
radouane_BNE Modérateur
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Sujet: Re: encore deux belles inégalités Ven 15 Juin 2007, 17:19
pour la premier;elle est tout à fait simple, juste une remarque fait tout. notons S=sin(x1) +sin(x2) +…+sin(x10) On sait que pour tout x de [0, pi/2] on a cos(x)=rac (1-sin²(x)) Donc on a cos(x1)/3=rac (1-sin²(x1))/3=rac ((sin²(x2) +…+sin²(x3))/9) On sait que rac (a²+b²)/2)>= (a+b)/2 alors rac ((sin²(x2) +…+sin²(x3))/9)>=(S-sin(x1))/9. On fait la même chose pour les autres termes. On somme les inégalités cotées par cotées pour obtenir : Cos(x1) +cos(x2) +…+cos(x10)>=10S-(sin(x1) +...+ (sin(x10)) =9(sin(x1) +…+sin(x10)) D’où (cos(x1) +…+cos(x10))/ (sin(x1) +…+sin(x10))>=3
radouane_BNE Modérateur
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Sujet: Re: encore deux belles inégalités Sam 16 Juin 2007, 11:28
On (a^3+abc)/ (b+c) + (b^3+abc)/(c+a) +(c^3+abc)/ (a+b)>=a²+b²+c² <=> ((a^3+abc)/ (b+c)-a²)+ ((b^3+abc)/(c+a)-b²) + ((c^3+abc)/ (a+b)-c²)>=0 <=>(a*(a-b)*(a-c)/(b+c))+(b*(b-a)*(b-c)/(a+c))+(c*(c-a)*(c-b)/(a+b))>=0 <=>a*(a²-b²)*(a²-c²)+b*(b²-a²)*(b²-c²)+c*(c²-a²)*(c²-b²)>=0 (on a multiplier par (a+b)*(b+c)*(c+a) ET je crois que c’est cas particulier de l’inégalité de Schur pour a², b² et c² et k=1/2.
radouane_BNE Modérateur
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Sujet: Re: encore deux belles inégalités Sam 16 Juin 2007, 11:34
l'inégalité de Schur: Soit a,b,c des nombres réels positifs et k un réel, alors on a:
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