séries des exos pour defie !!!

slt , suis nouvelle dans le forum ! a tt qui aiment le defie!!!!
je vous propose une suite des exos pour b1 maitriser votre connaissances ! j'éspére qu'il vous plait !
chaque exo avec 2 points et on va voire le vainceure ici !!
EXERCICE 1 :
résoudre dans R l'équation suivante :

EXERCICE 2 :
a et b des entiers , resoudre

EXERCICE 3 :
288x1=x2.x3.x4.x5
72x2=x1.x3.x4.x5
32x3=x1.x2.x4.x5
18x4=x1.x2.x3.x5
2x5=x1.x2.x3.x4
trouver les entier x1,x2,x3,x4,x5 !!
EXERCICE 3 :
resoudre dans R


EXERCICE 4 :
resoudre : (facile)

EXERCICE 5 : (j'aime bien ce exo )
prouver que
divisible par
EXERCICE 6:
détérminer tt les fonctions f strictement croissante sur R , telle que pour tt x£R
f(f(x))=x
EXERCICE 7:
soit ABC un triangle isocéle en A, les points M et N sont pris sur les cotés AB et AC respectivement .Les droits (BN) et (CM) se coupent en P .Montrer que les droits (MN) et (BC) sont paralléles si et seulement si on a
EXERCICE 8 : Resoudre dans R !!
(x+y)²=(x-1)(y-1)
a vos clavier !!
amusez-vos

P.S chaque solution compléte et élégante prend 2 points , et en fin on va voire notre vainquere pour notre petit jeu !

EXO 4 :

alors S=vide !

EXO 3 :
288x1²=x1.x2.x3.x4.x5
72x2²=x1.x2.x3.x4.x5
32x3²=x1.x2.x3.x4.x5
18x4²=x1.x2.x3.x4.x5
2x5²=x1.x2.x3.x4.x5
en multipliant le tt on deduit
(288.72.32.18.2)=(x1.x2.x3.x4.x5)^3
<==> (288)^3=(x1.x2.x3.x4.x5)^3
<==> 288=x1.x2.x3.x4.x5
en remplacon
288.x1²=288 ==> x1=1
72.x2²=288 ==> x2²=4 ==> x2=2
32.x3²=288 ==> x3=3
18.x4²=288 ==> x4=4
2.x5²=288 ==> x5 = 12

Pour le 5:
On a .
Donc .
Donc est divisible par .
CQFD.

et

alors divisible

EXO 4 :
c facile !
on supposons a=Vx et b=Vy (x.y>0) alors (a,b>0)
alors nos equations deviennent ==> a^4+a.b^3=336=a(a^3+b^3) (*) et
b^4+b.a^3=112=b(b^3+a^3) (**)


(*)/(**) <==> a/b = 3 ==> a=3b
donc on deduit
b^4+27b^4 = 28.b^4=112==> b^4=4 ==> b=V2 et a=3V2
donc x=18 et b=2 une soluc pour l'équation demandée

P.S il ya une petite erreur dans la numarotation des exos !
alors exo 4 il s'agit de l'équation !!
bienvenue mithing !

yééép ! bravo master ! j'ai b1 aimé tes solucs surtt l'exo 5 , mais les 2 points sont pour Mr.nmo .
svp, je veux b1 savoire ou ils sont les autres ?????
P.S.
master:6 points
nmo:2 points
bonne chance avec les autres !^^

^^ EXO 1 :

supposons 1-x=A ==> x=1-A ==>2x-3=-(2A+1)
alors :

A=0 ou A=-2 ==> 1-x=0 ou 1-x=-2 ==>x=1 ou x=3
S={1,3}

Pour le 2:
On a (ab+bc+ca)/abc=1/2.
Donc ab/abc+ac/abc+bc/abc=1/2.
Donc 1/a+1/b+1/c=1/2.
Supposons par symétrique de l'équation que a>=b>=c.
Donc 1/c>=1/b>=1/a.
Ainsi 1/c+1/c+1/c>=1/c+1/b+1/a.
Donc 3/c>=1/2.
Donc 6>=c.
Donc c=6 ou c=5 ou c=4 ou c=3 ou c=2 ou c=1.
(Il est fort clair que a, b, et c ne sont pas nuls car ils sont au dénominateur).
Le premier cas c=6.
On a 1/a+1/b+1/c=1/2.
Donc 1/6+1/b+1/a=1/2.
Donc 1/b+1/a=1/2-1/6.
Donc (a+b)/ab=1/3.
Donc 3(a+b)=ab.
Donc 3a+3b=ab.
Donc 3a-ab+3b+9-9=0.
Donc a(3-b)-3(3-b)+9=0.
Donc (a-3)(3-b)=-9.
Donc (3-a)(3-b)=9.
Les diviseurs de 9 sont 1, 3, et 9.
On a supposé que a>=b.
Donc -b>=-a.
Donc 3-b>=3-a.
Donc 3-b=9 et 3-a=1.
Donc b=-6 et a=2.
Contradiction avec b un entier.
Ou 3-a=3 et 3-b=3.
Donc a=0 et b=0.
Contradiction avec a et b sont non nuls.
Le deuxième cas: c=5.
On a 1/a+1/b+1/c=1/2.
Donc 1/5+1/b+1/a=1/2.
Donc 1/b+1/a=1/2-1/5.
Donc (a+b)/ab=3/10.
Donc 10(a+b)=3ab.
Donc 10 est multiple de 3.
Ce qui est faux.
Le troisième cas: c=4.
On a 1/a+1/b+1/c=1/2.
Donc 1/4+1/b+1/a=1/2.
Donc 1/b+1/a=1/2-1/4.
Donc (a+b)/ab=1/4.
Donc 4(a+b)=ab.
Donc 4a+4b-ab=0.
Donc a(4-b)+4b-16+16.
Donc a(4-b)-4(4-b)+16=0.
Donc (a-4)(4-b)=-16.
Donc (4-a)(a-b)=16.
Les diviseurs de 16 sont 1, 2, 4, 8, 16.
N'oublions pas que 4-b>=4-a.
Donc 4-b=16 et 4-a=1.
Donc b=-12 et a=3.
Contradiction avec b un entier.
Ou 4-b=8 et 4-a=2.
Donc b=-4 et a=2.
Contradiction avec b un entier.
Ou 4-a=4 et 4-b=4.
Donc a=0 et b=0.
Contradiction avec a et b sont non nuls.
Le quatrième cas: c=3.
On a 1/a+1/b+1/c=1/2.
Donc 1/3+1/b+1/a=1/2.
Donc 1/b+1/a=1/2-1/3.
Donc (a+b)/ab=1/6.
Donc 6(a+b)=ab.
Donc 6a-ab+6b=0.
Donc a(6-b)+6b+36-36=0.
Donc a(6-b)-6(6-b)+36=0.
Donc (a-6)(6-b)=-36.
Donc (6-a)(6-b)=36.
Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
N'oublions pas que 6-b>=6-a.
Donc 6-b=36 et 6-a=1.
Donc b=-30 et a=5.
Contradiction avec b un entier.
Ou 6-b=18 et 6-a=2.
Donc b=-12 et a=4.
Contradiction avec b un entier.
Ou 6-b=12 et 6-a=3.
Donc b=-6 et a=3.
Contradiction avec b un entier.
Ou 6-b=9 et 6-a=4.
Donc b=-3 et a=2.
Contradiction avec b un entier.
Ou 6-b=6 et 6-a=6.
Donc a=0 et b=0.
Contradiction avec a et b sont non nuls.
Le cinqième cas: c=2.
On a 1/a+1/b+1/c=1/2.
Donc 1/2+1/b+1/a=1/2.
Donc 1/b+1/a=1/2-1/2.
Donc (a+b)/ab=0.
Donc a+b=0.
Donc a=b=0.
Contradiction avec a et b sont non nuls.
Le dernier cas: c=1.
On a 1/a+1/b+1/c=1/2.
Donc 1/1+1/b+1/a=1/2.
Donc 1/b+1/a=1/2-1/1.
Donc 1/b+1/a=-1/2.
La somme des entiers est un entiers.
Ce qui est faux.
Maintenant si a=b=c.
On a 1/a+1/b+1/c=1/2.
Donc 3/c=1/2.
Donc c=6.
Ainsi le seul triplet d'entiers vérifiant l'équation est (6;6;6).
Sauf faute de frappe.

EXO 6 :
supposons un reélle k tel que f(k)#k
si f(k)>k <==> f(f(k))>f(k) <==> k>f(k) <==> contradiction
si f(k)<k <==> f(f(k))<f(k) <==> k<f(k) <==> contradiction
ce qui prouve que la seul soluc est f(k)=k .

nmo a écrit:

Pour le 5:
On a .
Donc .
Donc est divisible par .
CQFD.

?
Au plaisir.

mizmaz a écrit:

nmo a écrit:

Pour le 5:
On a .
Donc .
Donc est divisible par .
CQFD.

?
Au plaisir.

Une grave faute d'inattention.
Merci pour cette remarque.

Tiens master, un effort honorable! Je te présente la solution de l'exercise 8 par ma methode pour completer votre travail.

EXERCICE 8:
Resoudre dans R² (plutot que |R): (x+y)²=(x-1)(y-1)
-------------------------------------------------------------------------
Posons x=y:
=> x²=(x-1)²
=> x=x-1 Ou bien x=-x+1
=> 0=-1 Ou bien x=1/2
0=-1 Impossible! Donc S1={(1/2,1/2)} (1)

Aussi: (2x)²=(x-1)² <=> 2x=x-1 ou bien: 2x=-x+1
=> y=x=-1 Ou bien y=x=1/3
=> S2={(-1,-1);(1/3,1/3)} (2)

Revenons à notre equation initial:
On a: (x+y)²=(x+y-y-1)(y-1)
=> (x+y)²=(x+y)(y-1)-(y-1)²
=> (x+y)²+(y-1)²=(x+y)(y-1)
Généralement, tout les solutions de l'equation sont les solution de l'equation suivante a²+a²=ab tel que: a=x+y et b=y-1.
a²+b²-ab=(a^3+b^3)/(a+b)=0
<=> a^3+b^3=0 <=> a^3=-b^3
Tout les solutions et en methode de T.C seront la solution se cette equation: (x+y)^3=-(y-1)^3
Parmi les solutions: {(1/2,1/2);(-1,1);(1,-1);(-1,-1);(1/3,1/3)}
Sauf error.
CQFD.

nmo a écrit:

Pour le 2:
.........
..bla ...
...bla....
Donc c=6.
Ainsi le seul triplet d'entiers vérifiant l'équation est (2;2;2).
Sauf faute de frappe.

non nmo ce n'est pas le seul triplet
donc la symetrie des roles nous permet d'assumer que a>=b>=c
solutions :(a,b,c)=(6,6,6) ou (15,10,3) ou (24,8,3) ou (12,4,6)
alors il existe 10 triplets!
sauf erreur b(pas forcément de frappe)!

M.Marjani a écrit:

Tiens master, un effort honorable! Je te présente la solution de l'exercise 8 par ma methode pour completer votre travail.

EXERCICE 8:
Resoudre dans R² (plutot que |R): (x+y)²=(x-1)(y-1)
-------------------------------------------------------------------------
.....
...
D'ou: S={(1/2,1/2);(-1,1);(1,-1);(-1,-1);(1/3,1/3)}
Sauf error.
CQFD.

non ce n'est pas la bonne solution
en tout cas le nombre de solution est infini qui s'ecrit de la forme:
S={(x,f(x)),(x,g(x))} tel que x appartient à [-5/3,1]
et :
et :
P.S.les solutions de cette équation est un ellipse!
sauf erreur bien sur!

noirouge a écrit:

M.Marjani a écrit:

Tiens master, un effort honorable! Je te présente la solution de l'exercise 8 par ma methode pour completer votre travail.

EXERCICE 8:
Resoudre dans R² (plutot que |R): (x+y)²=(x-1)(y-1)
-------------------------------------------------------------------------
.....
...
D'ou: S={(1/2,1/2);(-1,1);(1,-1);(-1,-1);(1/3,1/3)}
Sauf error.
CQFD.

non ce n'est pas la bonne solution
en tout cas le nombre de solution est infini qui s'ecrit de la forme:
S={(x,f(x)),(x,g(x))} tel que x appartient à [-5/3,1]
et :
et :
P.S.les solutions de cette équation est un ellipse!
sauf erreur bien sur!

Peuvez-vous la démontrez mathématiquement, car les réponses ne vaut rien sans justification...

Pour moi j'ai dis à la fin que les solution de l'équation serait les solution de l'equation a²+b²=ab! [si j'a pu la factoriser je pense que je peut présenter tout les solutions ^^]
Merci.

a²+b²-ab=(a^3+b^3)/(a+b)=0
<=> a^3+b^3=0 <=> a^3=-b^3
Tout les solutions et en methode de T.C seront la solution se cette equation: (x+y)^3=(y-1)^3
^^'

mais je pense que c'est facile tu n'as qu'à trouvé y en fonction de x et après déduire ...et pour t'assurer mr Marjani :
(je fais ici la réciproque:vérification des solutions):

ce qui vérifie l'équation du début!
tu peux de la même manière t'assurer avec le f(x)
ce n'est question que de calcul

Pour l'avant dérnier:

On peut déssiner une figure en cas particulier, celui de (MN)//(BC).
*.* Notre travail consiste à déssiner A' la projection de A sur [BC].
*.* On a: (MN)//(BC) et ABC un triangle issiéocle en A
*.* Donc: (AA') est un mediatrice de [BC] et aussi un bissectrice de l'angle BAC.
*.* MAP=NAP (Angles). (1)
*.* (MN)//(BC) et m£[AB], N£[AC], souvent le theoréme de thalés, on trouve que: si AB=AC => AM=AN <=> AMN=ANM(Angles). (2)
*.* P un point de [AA'] => PM=PN <=> PMN=PNM(Angles). (3)
*.* (Angles)BAC=(1/2)BPC, d'aprés (1)BPA=APC(Angles). (4)
*.* MPB=NPC(Angles) [Echangement intérieur]. D'aprés (4) APM=APN(Angles)

CQFD.

Il restera encore l'EX2 et 5 donc.

pour l'EXO 5 j'ai deja préentée ma soluc ! veuillez voir mes msg precedents M.Marjani !!

Ah, donc c'est tout fini xD.
Bravo! au prochain défie ncha2 lah.

mithing a écrit:

EXERCICE 5 : (j'aime bien ce exo )
prouver que
divisible par

J'ai pas saisi bien ta réponse Master ^^ si tu veux bien m'expliquer
Sinon j'ai trouvé ca :
Noter :

On a :

En sommant il vient que :

Où :

Ainsi P(x) divise Q(x) .