olympiade de mathematiques (1999/2000)

Épreuve 5, problème 1 :
En additionnant deux à deux les égalités du système, et en factorisant, on obtient (x-y)(x+y+z)=7, (x-z)(x+y+z)=9 et (y-z)(x+y+z)=8. Maintenant, en soustrayant (x-y)(x+y+z) de (x-z)(x+y+z), il vient (y-z)(x+y+z)=2, ce qui est en contradiction avec le fait que (y-z)(x+y+z)=8.
Conclusion : l'ensemble des solutions du système est l'ensemble vide.

Epreuve 2, question 4:
On a:
(a²+1)/b +(b²+1)/a>=2sqrt((a²+1)(b²+1)/ab)
>=2sqrt(ab+a/b+b/a+1/ab)
ab+1/ab>=2 et a/b+b/a>=2
d'ou:(a²+1)/b +(b²+1)/a>=2sqrt(2+2)>=4
CQFD.

Dijkschneier a écrit:

Épreuve 2, problème 4 :
L'inégalité est équivalente à (a+b)(a²+b²-ab+1)>=ab. Selon l'IAG, on a a+b>=2sqrt(ab) et a²+b²-ab+1>=ab+1>=2sqrt(ab).
Par produit, on déduit l'inégalité escompté.

Comment t'as trouvé ce que j'ai mis en gras?
Et c'est quoi l'IAG?

Merci d'avance

Dijksheiner a écrit:

tarask a écrit:

je crois qu'il faut préciser le domaine de définition d'abord

Je doute fort que ce soit utile.

Si Monsieur, si! C'est hyper utile. ( C'est ton tour )

Ma Solution: Exercise 1 Epreuve 2

R/r=a/b=k, on cherche donc k.

Notons X=(OX)_|_(BC) et H=(O'H)_|_(BC) tel que O le centre du cercle ayant a pour rayon, O' le centre du cercle ayant b pour rayon.
* Par Thalés on a: CH/CX=O'C/OC=a/b=k (1) , or OCX et O'CH deux triangles rectangles semblables par (1) (Respc.) en X et H, donc R=a=Cos(Pi/3)*OC=(1/2)OC de méme, r=(1/2)*O'C ==> (2)
* Aussi, on aura par (1) CH/(OC*(V3/2))=O'C/OC => O'C=(2/V3)*CH ==> (3) Et encore par (2) r=CH/V3 (M)
* Et pour finir, on aura par la relation (1) et (3): r=(R*OC)/O'C=(V3/4)*(OC²/CH) ou encore r=CH/V3 ==> (4)
* Par (3), (4) et (2) : OC=O'C+R+r=2CH/V3+(1/2)OC²*(V3/4CH) , et remplaçant (4) dans cette dérniére pour trouver que OC=2r+(1/2)OC²*(1/4r) <=> 8r*OC=16r²+OC² , or OC=2R donc 16r*R=16r²+4R² <=> 16R*r=4(R²+4r²) <=> 16r(R-r)=4R² <=> 1/4=r/R*(1-r/R)=r/R-(r/R)²
On pose r/R=m donc m²-m+1/4=0, delta=0 d'ou m=r/R=1/2, donc R/r=2.

CQFD.

Ma Solution: Exercise2 Epreuve2:

D'abord on a: n/3 + n²/2 +n^3/6=n(n²+3n+2)/6=n(n+1)(n+2)/6

Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6. D'ou n/3 + n²/2 +n^3/6 £ IN.

Ma Solution: Exercise3 Epreuve2:

Multipliant les deux cotés de l'equation du départ par (x-V(x²+1)) donc (x²-x²-1)(y+V(y²+1))=x-V(x²+1) donc x+y=V(x²+1)-V(y²+1), En elavant au carré: x²+y²+2xy=x²+y²+2-2V((x²+1)(y²+1)) donc 1-xy=V((x²+1)(y²+1) ==> (A)
Or V((x²+1)(y²+1)>=0 donc 1-xy>=0 d'ou xy>=1. Or LHS=xy+xV(y²+1)+yV(x²+1)+V(x²+1)(y²+1)=1 , donc on aura de solution pour l'equation du départ si et si que xy=1.
* On remplace xy par sa valeur dans (A) donc V((x²+1)(y²+1))=0 d'ou x²=-1 ou y²=-1 , or (x²+1)>=1 et (y²+1)>=1 , d'ou x=y=0 est la seule solution. S={0,0}

Ma Solution: Exercise 4 Epreuve 2 (Exercise de collége xD)

* (a²+1)/b + (b²+1)/a >= 4

(a-1)² >= 0 donc a²+1 >= 2a de méme b²+1 >= 2b ==> (1)

Donc: 2a/b + 2b/a >= 4 donc 2(a/b+b/a)>=4

Or (V(a/b)-V(b/a))²>=0 donc a/b+b/a >= 2 => 2(a/b+b/a)>=4 ce qui est juste !

FiN de L'épreuve 2.

SaKuRa a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Épreuve 2, problème 4 :
L'inégalité est équivalente à (a+b)(a²+b²-ab+1)>=ab. Selon l'IAG, on a a+b>=2sqrt(ab) et a²+b²-ab+1>=ab+1>=2sqrt(ab).
Par produit, on déduit l'inégalité escompté.

Comment t'as trouvé ce que j'ai mis en gras?
Et c'est quoi l'IAG?

Merci d'avance

Les deux inégalités suivantes sont vraies :
L'inégalité arithmético-géométrique à deux variables s'énonce ainsi : pour tous réels x et y, on a x²+y² >= 2xy.

M.Marjani a écrit:

Si Monsieur, si! C'est hyper utile. ( C'est ton tour )

Hein ?

Dijkschneier a écrit:

M.Marjani a écrit:

Si Monsieur, si! C'est hyper utile. ( C'est ton tour )

Hein ?

Df = x>=y²>=0 et y>=x²>=0, avec xy=1 Et LHS²=xy+xV(x²+1)+yV(y²+1)+V((x²+1)(y²+1))=1 donc xV(x²+1)+yV(y²+1)+V((x²+1)(y²+1))=0 d'ou xV(x²+1)+yV(y²+1)=0 Et par Df tu en déduis que: x=y=0 la seule solution dans IR, qui ne vérifier pas l'equation. Donc ta solution x=y=1/2 n'a aucun sens là-bas.

Ma Solution: Exercise 1 Epreuve 3:

* Remarquant d'abord que x-y=x²+xy+y²=(x^3-y^3)/(x-y) donc x^3-y^3=(x-y)² ce qui implique que x^-y^3 >= 0 donc x>=y ==> (A)
* x-y=x²+xy+y² implique aussi que (x-y)(1-x+y)=3xy donc 1/(1-x+y)=1/3y - 1/3x, puisque x>=y donc 1/3y >= 1/3x d'ou 1-x+y>0 alors que x-y<1, on déduit que: 0=<x-y<1 ==> (B)
* 1-x+y>0 <=> 1+x+y>2x (1) , or x=x²+y(x+y+1) remplaçant (1) par ca valeur donc x>=x²+2xy <=> 1-x>=2y et 1-y>=x+y ==> (C)

On remarque que: S={(0,0);(0,-1);(1,-2);(1,0);(2,-2)}

EDIT: Faute de frappe, il s'agit de l'épreuve 3.

M.Marjani a écrit:

Df = x>=y²>=0 et y>=x²>=0, avec xy=1 Et LHS²=xy+xV(x²+1)+yV(y²+1)+V((x²+1)(y²+1))=1 donc xV(x²+1)+yV(y²+1)+V((x²+1)(y²+1))=0 d'ou xV(x²+1)+yV(y²+1)=0 Et par Df tu en déduis que: x=y=0 la seule solution dans IR, qui ne vérifier pas l'equation. Donc ta solution x=y=1/2 n'a aucun sens là-bas.

Je n'ai que balayé du regard parce que tu as l'air de ne pas comprendre ce que tu écris.
(1/2,1/2) fait partie de l'ensemble de définition.
L'ensemble de définition est seulement l'ensemble où l'expression est définie. Ce n'est pas l'ensemble des solutions du système.
(x,y) appartient à l'ensemble de définition du système si et seulement si x-y²>=0 et y-x²>=0. Cela est équivalent à 0<=x,y<=1. On voit clairement que (1/2, 1/2) y appartient.

Dijkschneier a écrit:

M.Marjani a écrit:

Df = x>=y²>=0 et y>=x²>=0, avec xy=1 Et LHS²=xy+xV(x²+1)+yV(y²+1)+V((x²+1)(y²+1))=1 donc xV(x²+1)+yV(y²+1)+V((x²+1)(y²+1))=0 d'ou xV(x²+1)+yV(y²+1)=0 Et par Df tu en déduis que: x=y=0 la seule solution dans IR, qui ne vérifier pas l'equation. Donc ta solution x=y=1/2 n'a aucun sens là-bas.

Je n'ai que balayé du regard parce que tu as l'air de ne pas comprendre ce que tu écris.
(1/2,1/2) fait partie de l'ensemble de définition.
L'ensemble de définition est seulement l'ensemble où l'expression est définie. Ce n'est pas l'ensemble des solutions du système.
(x,y) appartient à l'ensemble de définition du système si et seulement si x-y²>=0 et y-x²>=0. Cela est équivalent à 0<=x,y<=1. On voit clairement que (1/2, 1/2) y appartient.

Je t'ai expliqué comment x=y=1/2 est fausse malgré qu'elle appartient à Df. ^^
J'ai pas fais attention que t'as édité ta faute dans ton poste, bon..

the kiler a écrit:

Bonsoir Killer !

J'ai vu votre solutions de l'épreuve 1 et 2, je les aime! J'ai juste deux remarques déjà à emetter:

L'exercise 1 Epreuve 1: x=y=1/2 ne réalise pas le systéme. (Voir ma réponse dans la page 2)
L'exercise 1 Epreuve 2: Je pense que c'est plutot a/b=2.

Ma Solution: Exercise 2 Epreuve 3: (Ma solution du dérniere phase d'olymps du TC)

On a x/(y-z) + y/(z-x) + z/(x-y) = (x^3+y^3+z^3-x²y-y²x-y²z-yz²-xz²-x²z+3xyz) / (y-z)(x-y)(z-x) = 0 (1)

Et on sait que x/(y-z)² + y/(z-x)² + z/(x-y)² = (x²+y²+z²+xy+yz+xz)(x^3+y^3+z^3-x²y-y²x-y²z-yz²-xz²-x²z+3xyz)

Et par (1) on aura: x/(y-z)² + y/(z-x)² + z/(x-y)²=0

EDIT: Il s'agit de l'épreuve 3.. non pas Epreuve2.

Pourriez-vous démonter cette inégalité ab+1>= sqrt2(ab) ?
Parce que j'ai fait l'exo, mais j'arrive pas à la démontrer et je ne crois pas q'un prof pourrait accepter "selon IAG". Il va probablement te demander de la démonter.

Merci d'avance.

elle est equivalente à ab-2sqrt2(ab)+1>= 0 <=> (sqrt2(ab)-1)²>= 0
c'est une simple identité remarquable (faisable avec IAG)

Ah oui! J'avais pas remarqué :s
Merci!

tarask a écrit:

elle est equivalente à ab-2sqrt"2"(ab)+1>= 0 <=> (sqrt2(ab)-1)²>= 0
c'est une simple identité remarquable (faisable avec IAG)

Mais il n'y a pas ce "2" dans l'inégalité que j'ai proposée.

(ab+1)>=2Vab>=Vab nn? (dsl si je l'ai pas mentionné)

Oué bien sûr!
Désolée si je pose trop de questions. C'est juste que le prof insiste sur le fait de ne pas écrire une formule sans la démontrer.

SaKuRa a écrit:

Oué bien sûr!
Désolée si je pose trop de questions. C'est juste que le prof insiste sur le fait de ne pas écrire une formule sans la démontrer.

c'est pas le cas des olympiades , surtout s'il s'agit de choses faciles comme les identités remarquables

the kiler a écrit:

J'ai une question à propos de l'exercice 1: Pourqoi on a 1>=x-y.
Il existe quatre autres solutions que j'ai trouvé.
Attendez mon prochain message.

test 3, exercice premier:
On a .
Donc .
Donc .
Et on a .
Donc .
Donc .
Et on a .
Donc
Donc
Ainsi l'équation -3y²-6y+1=0 a pour solutions et .
Donc et .
Donc et .
Donc et .
Donc y appartient à l'intervalle fermé formé par les deux racines.
Et puisque y est un entier naturel, il vient que y=0.
On a x-y=x²+xy+y².
Donc x-0=x²+0x+0².
Donc x=x².
Donc x²-x=0.
Donc x(x-1)=0.
Donc x=0 ou x-1=0.
Donc x=0 ou x=1.
Donc les deux solutions sont (0,0) et (1,0).
P.S: J'ai dit qu'il ya quatre solutions car j'ai cru que l'équation est à résoudre dans l'ensemble des entiers, désolé.

nmo a écrit:

P.S: J'ai dit qu'il ya quatre solutions car j'ai cru que l'équation est à résoudre dans l'ensemble des entiers, désolé.

Oui, il existe méme 5:

S={(0,0);(0,-1);(1,-2);(1,0);(2,-2)}

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

P.S: J'ai dit qu'il ya quatre solutions car j'ai cru que l'équation est à résoudre dans l'ensemble des entiers, désolé.

Oui, il existe méme 5:

S={(0,0);(0,-1);(1,-2);(1,0);(2,-2)}

C'est ça ce que j'ai trouvé.
L'exercice est de trouver les couples dans IN.
Par conséquent, on conserve (0,0) et (0,1) et on jette ce qui reste.
P.S: pour l'information, les entiers sont les deux groupes IN et IZ.