Inégalité Intéressante

Soit ; et des réels positifs tel que :
Prouver que :

SAlut
SOlution sauf erreur :
on donne § le symbole du prduit
§ (a²+ab+b²)=<3 <==>§(a²+b²+c²+4-4c)=<24
on pose a²+b²+c²+4=q
linego équivaut a : §(q-4c)=<24
<==> q^3-16q²+64q-24=<64abc (juste devleppoment)*
<==> (q-6)(q²-10q+4)=<64abc
on a q²-10q+4 est négatif pour tt q £ [0,41 ; 9,58)
or or q <8 et >4
si q>=6 c'est fini
si q<6 en appliquant SCHUR on trouve 9abc+8>=8(ab+bc+ac)=32-4q**
en revanant a * et on aplike**
et on continue la preuve avec oussama1305 ci dessous (a cause d'une faute de calcul que j'ai commis)
égalité lorsque a=0 ,b=c=1 ou les autres permutations cycliques
WE r done

imanos a écrit:

SAlut
SOlution sauf erreur :
on donne § le symbole du prduit
§ (a²+ab+b²)=<3 <==>§(a²+b²+c²+4-4c)=<24
on pose a²+b²+c²+4=q
linego équivaut a : §(q-4c)=<24
<==> q^3-16q²+64q-24=<64abc (juste devleppoment)*
<==> (q-6)(q²-10q+4)=<64abc
on a q²-10q+4 est négatif pour tt q £ (0,41 ; 9,58)
or or q <8 et >4
si q>=6 c'est fini
si q<6 en appliquant SCHUR on trouve 9abc+8>=8(ab+bc+ac)=64-8q**
en revanant a * et on aplikant** on trouve qu'il suffit de montrer que
q^3-16q²+64q-64((56-8q)/9)-24=<0
ce qui est vré pour tout q =<7.37
égalité lorsque a=0 ,b=c=1 ou les autres permutations cycliques
WE r done

Très bonne méthode, mais je me permets de te corriger, ce qui en rouge est faux.
On a en réalité :



Ce qu'il suffit de démontrer c'est :



Ce qui est équivalent à :



Et puisque q est inférieure à 6, le résultat en découle "proprement".
Très bonne méthode imanos.

Merci OUSSAMA1305 est DSL pour ma grosse faute :S

On pose :

On a :

L'inégalité équivaut alors à :


On a :

Si , c'est fini.
Si :
D'après l'inégalité de Schur pour :

Il suffit alors de prouver que :



Ce qui est clairement vrai.

SALAM

C'est presque le meme principe que j'ai travaillé avec
sinon c'est ta propre inégalité?

Non, c'est une inégalité de Murray Klamkin.
Il existe une autre méthode de résolution en utilisant les fonctions.

pour les curieux ,voilà un lien vers la preuve en utilisant les fonctions http://gbas2010.wordpress.com/2010/02/18/inequality-37murray-klamkin/

Excusez moi, je suis tout nouveau au forum.

Je n'arrive vraiment pas à comprendre comment avez-vous simplifié la multiplication ( le PI ), déjà, c'est une multiplication jusqu'à quel rang ? Merci de m'éclaircir un peu ces détails