Marathon des équations fonctionnelles

Bonjour.
Les équations fonctionnelles incitent à une bonne gymnastique de l'esprit. De plus, elles ne font que peu appel à des résultats déjà connus. Elles sont souvent astucieuses et une fois l'idée de la démonstration dénichée, la résolution est rapide. Ce marathon sera donc, si vous vous en donnez à cœur joie, très fluide.
En outre, les problèmes et les solutions ne requièrent pas du Latex pour être lisibles. Les caractères normaux du clavier suffisent.
Les problèmes et les solutions doivent se suivre. Si quelqu'un qui répond à un problème n'a pas de nouveau problème à proposer, qu'il l'indique clairement ! D'autres s'en chargeront, si possible.
Merci de :
- Numéroter clairement les problèmes, et citer le numéro du problème dans la solution que l'on en donne.
- Spoiler les solutions afin de ne pas biaiser l'esprit des participants.
- Veiller à ne pas répéter les problèmes.
- Ne pas poster des EF "classiques".
- Expliciter les notations utilisées, si nécessaire
- Si possible, ne pas mêler aux problèmes des problèmes plutôt analytiques, qui font référence à la continuité, dérivabilité, et tout le toutim.
- Ne pas indiquer les sources des problèmes pour éviter des cas de tricherie.
- Ne pas poster de solutions incomplètes et par conséquent, ne pas attendre de confirmation pour reproposer un nouveau problème.

Problème 1 :
Trouver toutes les fonctions f : IR -> IR qui vérifient l'équation fonctionnelle : f(f(x)²+f(y)) = xf(x) + y.

f(f(x)²+f(y)) = xf(x) + y.

Déjà postulé dans le forum, on souhaite que Dijksheiner puisse le changé avec un autre.

<< contenu effacé à la demande de Dijkschneier >>

Voici ma solution pour le Problème 1 :

Spoiler:

Sauf erreur .. J'attends un confirmation

Il serait bien de poster un nouveau problème, Sylphaen.

Sylphaen a écrit:

f( af(a)+bf(b))=f( f(a))²+f(f(b))²=a²+b² = f(a)²+f(b)²
Cela implique qu'on ait pour tous réels a,b f(a)²-a²=f(b)²-b²=c alors si on pose b=0 on obtient f(a)²=a² . soit que pour tous réels on ait f(a)=a ou f(a)=-a

Bonjour,

Je ne comprends pas pourquoi f( af(a)+bf(b))=f( f(a))²+f(f(b))²

Par ailleurs, même si cela est vrai, a²+b² = f(a)²+f(b)² implique f(a)²-a²=b²-f(b)² et non f(a)²-a²=f(b)²-b²

pco a écrit:

Sylphaen a écrit:

f( af(a)+bf(b))=f( f(a))²+f(f(b))²=a²+b² = f(a)²+f(b)²
Cela
implique qu'on ait pour tous réels a,b f(a)²-a²=f(b)²-b²=c alors si on
pose b=0 on obtient f(a)²=a² . soit que pour tous réels on ait f(a)=a
ou f(a)=-a

Bonjour,

Je ne comprends pas pourquoi f( af(a)+bf(b))=f( f(a))²+f(f(b))²

Par ailleurs, même si cela est vrai, a²+b² = f(a)²+f(b)² implique f(a)²-a²=b²-f(b)² et non f(a)²-a²=f(b)²-b²

J'ai posé f(a)=x et f(b)=z

et on a : f(f(a))=f(x)=a et de même f(z)=b

Puisque : f( xf(x)+zf(z))=f(x)²+f(z)² alors f( af(a)+bf(b) ) = f( f(a))²+f(f(b))²=a²+b²

donc f(a)²+f(b)²=a²+b² .
Pour ce qui est en rouge oui c'est faux dsl , sinon b=0 donne le résultat directement .
J'espère que j'ai pas commis d'autre bêtise
Voici le problème que je propose :

Problème 2 :
Déterminer toute les fonctions f : IN* -> IN*-{1} qui vérifient :
f(n)+f(n+1)=f(n+2).f(n+3)-168 pour tous entier n>0.

Sylphaen a écrit:

J'ai posé f(a)=x et f(b)=z

et on a : f(f(a))=f(x)=a et de même f(z)=b

Puisque : f( xf(x)+zf(z))=f(x)²+f(z)² alors f( af(a)+bf(b) ) = f( f(a))²+f(f(b))²=a²+b²

donc f(a)²+f(b)²=a²+b² .

Je suis vraiment désolé mais je ne comprends toujours pas.

Pour moi f( af(a)+bf(b) ) =f(a)²+f(b)² est OK

Mais pourquoi f( af(a)+bf(b) ) = f( f(a))²+f(f(b))² ?????

Désolé de ne pas comprendre.

bon on a :

f(a)=x et f(b)=z alors f(x)=a et f(z)=b

on multiplie les deux côté pour obtenir xf(x)=af(a) et bf(b)=zf(z)

alors:f( xf(x)+zf(z))=f(af(a)+bf(b)) => f(x)²+f(z)²=(f(a))²+(f(b))²=(f(f(x))²+(f(f(z))²=x²+z²

Sylphaen a écrit:

bon on a :

f(a)=x et f(b)=z alors f(x)=a et f(z)=b

on multiplie les deux côté pour obtenir xf(x)=af(a) et bf(b)=zf(z)

alors:f( xf(x)+zf(z))=f(af(a)+bf(b)) => f(x)²+f(z)²=(f(a))²+(f(b))²=(f(f(x))²+(f(f(z))²=x²+z²

Ben ... oui, bien sûr
Il m'arrive d'être bloqué sur une ligne. C'est maintenant clair !
Merci beaucoup pour votre patience, et bravo pour la démonstration.

Sylphaen a écrit:

Problème 2 :
Déterminer toute les fonctions f : IN* -> IN*-{1} qui vérifient :
f(n)+f(n+1)=f(n+2).f(n+3)-168 pour tous entier n>0.

Ma solution :

Spoiler:

Et je n'ai pas de problème à proposer. Que chacun se sente libre d'en proposer un à ma place.

bsr pco,
si vous permettez pourquoi |f(n+2)-f(n)|>|f(n+4)-f(n+2)|, ce qui est impossible pour tout n

.

joystar1 a écrit:

bsr pco,
si vous permettez pourquoi |f(n+2)-f(n)|>|f(n+4)-f(n+2)|, ce qui est impossible pour tout n

Bonjour, et pas de problèmes bien sûr :

soit g(n)=|f(n+2)-f(n)| entier naturel

Si g(n)>g(n+2) pour tout n, alors :
g(n)>=g(n+2)+1
g(n+2)>=g(n+4)+1
...
g(n+2p-2)>=g(n+2p)+1

et donc g(n)>=g(n+2p)+p>p, ce qui est impossible pour tout p puisque la partie gauche est un nombre entier positif fini alors que la partie droite tend vers + infini.

Donc, à un moment, on doit avoir g(n+2k)=0, et fonc f(n+2k+2)=f(n+2k), et donc f(n+2k)=f(n+2k-2),... et donc f(n+2)=f(n).

okii merci je vois plus claire mnt

BJR à Toutes et Tous !!

BJR pco !!

Je salue , avec plaisir , Ton retour sur le Forum ....
Les Olympiens & Férus d'Inégalités et Equa-Fonc. ont grand besoin de Ta Compétence et de Ton Savoir-faire en l'occurence et le Forum est plutôt en chute de vitesse et d'intérêt !!!

AMIcalement . LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

BJR à Toutes et Tous !!

BJR pco !!

Je salue , avec plaisir , Ton retour sur le Forum ....
Les Olympiens & Férus d'Inégalités et Equa-Fonc. ont grand besoin de Ta Compétence et de Ton Savoir-faire en l'occurence et le Forum est plutôt en chute de vitesse et d'intérêt !!!

AMIcalement . LHASSANE

Merci LHASSANE pour ce message sympathique

Je viens de temps en temps regarder si le forum vit. Mais il est vrai que depuis plusieurs mois il me semble plutôt endormi, en tous cas par rapport à l'époque où je me suis enregistré.

Je suis beaucoup plus souvent sur Mathlinks, mais c'est anglophone ...

Problème 3 :
Trouver toutes les fonctions f : IR -> IR qui vérifient l'EF : f(f(x+y)) = f(x+y) + f(x)f(y) - xy pour tous réels x et y.

Dijkschneier a écrit:

Problème 3 :
Trouver toutes les fonctions f : IR -> IR qui vérifient l'EF : f(f(x+y)) = f(x+y) + f(x)f(y) - xy pour tous réels x et y.

Bonjour,

Voici ma solution :

Spoiler:

Et je n'ai pas de problème à proposer. Que chacun se sente en conséquence libre d'en proposer un à ma place.

Problème 4 :
Trouver toutes les fonctions f : Z -> Z telles que : f(-1) = f(1) et f(x) + f(y) = f(x+2xy) + f(y-2xy) pour tous entiers relatifs x et y.

Dijkschneier a écrit:

Problème 4 :
Trouver toutes les fonctions f : Z -> Z telles que : f(-1) = f(1) et f(x) + f(y) = f(x+2xy) + f(y-2xy) pour tous entiers relatifs x et y.

Bonjour,

Très joli problème, Dijkschneier, merci
Voici ma solution :

Spoiler:

Et, comme toujours, je n'ai pas de problèmes à proposer. Que chacun se sente libre d'en proposer un à ma place.

Il est fort le probleme je me suis bloqué sur les nombre qui sécrivent de forme 2^n
Bravo PCO

Oui pco. Cette fonction est entièrement déterminée par les valeurs f(0), f(1), f(2), f(4), f( 8 ), f(16), etc. Plus précisément, f(x)=f(v2(|x|) où v2(|x|) est la valuation 2-adique de |x|.

Problème 5 :
Trouver toutes les fonctions f : IR -> IR telles que f(xf(y)+x)=xy+f(x) pour tous réels x et y.

Solution pour problème 5 :

Spoiler:

Problème 6 :
Trouvez toutes les fonctions f : IN -> IR t.q :pour tous entier n>=m>=0
2( f(m+n)+f(n-m)+n-m-1 ) = f(2m)+f(2n)
et f(1)=3