- boujmi3 a écrit:
- soient G et G' deux groupes tel qu'il existe un homomorphisme surjectif phi entre G et G' , soit K(phi) le kernel de phi , montrez que G' et G/K sont isomorphes
BSR boujmi3 !!!
Tout d'abord , Merci de m'avoir dédicacé l'exo de Ton Précédent Topic !!!
Exo que je n'arrive toujours pas à faire , du reste .... ??!!!
Maintenant , l'exo que tu proposes est CLASSIQUE ... Le seul SECRET c'est que Le Noyau Ker( phi ) de tout HOMORPHISME de groupes de G vers G' est un sous-groupe DISTINGUE de G
et celà permet de définir la Structure de Groupe-Quotient de G/Ker( phi ) ;
En deuxième , c'est aussi la conséquence du résultat général suivant :
Toute application f d'un ensemble E dans un autre ensemble F se décompose de MANIERE CANONIQUE selon
f=i o b o s ou
___ s est la SURJECTION CANONIQUE de E vers F/R ; R étant la relation canoniquement associée à f
x , x' dans E xRx' <====> f(x)=f(x')
___ b est la BIJECTION CANONIQUE de F/R sur f(E) et
___ i l'INJECTION CANONIQUE de f(E) dans F
Dans le cas présent R est tout simplement : x , x' dans E xRx' <====> (x-x') est dans Ker( phi )
En outre E=G et F=G' et toutes les applications sont en fait des MORPHISMES de GROUPES !!!
Amicalement . LHASSANE
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