BJR boujmi3 !!
Notons H=< (1;2) ; (1;2;3; ...... ;n) > le sous-groupe de Sn engendré par
(1;2) et (1;2;3; ...... ;n)
S=(1;2) et T=(1;2; .... ;n)
On sait que toute permutation de Sn se décompose
en produit de CYCLES deux à deux disjoints et de longueur >=2
puis que tout CYCLE se décompose en produit de TRANSPOSITIONS .
Admettons le ...
Quitte à le prouver dans un autre Topic .....
Ceci permet d'affirmer que Sn est engendré par les (1/2).n.(n-1)
transpositions (i;j) avec 1<=i<j<=n .
Donc , il suffit de montrer que toute TRANSPOSITION est dans H .
Or toute transposition (p;q) s'écrit de manière triviale sous la forme
(p;q)=(p;n)o((q;n)o(p;n)
donc (p;q) appartient au sous-groupe de Sn engendré par les transpositions
(i;n) lorsque i varie de 1 à (n-1)
On se ramène alors à un autre problème :
Démontrer par récurrence ( finie ) sur i que
(i;n) est dans H ????
1) INITIALISATION : Montrer que (1;n) est dans H
2) HYPOTHESE de RECURRENCE :
supposons que (p;n) est dans H pour un p tel que 1<=p<=n-2
ALORS , on sait que (p;q)=(p;n)o((q;n)o(p;n)
si on fait q=p+1 dans cette Formule , on obtiendra :
(p;p+1)=(p;n)o((p+1;n)o(p;n)
et sachant que les transpositions sont des éléments d'ordre DEUX dans Sn
(p+1;n)=(p;n)o((p;p+1)o(p;n)
Or (p;p+1)=T^(n-p+1))oSoT^(p-1)
Ce que l'on peut vérifier ponctuellement ...
Donc (p;p+1) est dans H
Comme (p;n) est dans H selon l'Hypothèse de Récurrence , alors (p+1;n) reste dans H .
Ma Démonstration est presque terminée , il me reste l'INITIALISATION que Je n'arrive pas à faire ...
C'est le petit grain de sable ou bien le Trou de Mémoire ....
Il reste donc à vérifier que (1;n) se décompose en produit de S et T .
Bien Amicalement à Vous Toutes et Tous !!
LHASSANE
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