problème N°56 de la semaine (20/11/2006-26/11/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki
Bonjour,
1/(1+ab)+1/(1+bc)+1/(1+ca) >= 9/(3+ab+bc+ca) car x -->1/(1+x) convexe sur IR+
ab+bc+ac =< a²+b²+c²=3 ==> 9/(3+ab+bc+ca) >= 3/2 .
A+

solution postee
voici la solution de kalm
on sait que: (a-b)²+(a-c)²+(b-c)²>=0 <=> a²+b²+c²>= ab+ac+bc
<=> 3 >=
ab+ac+bc
<=>
3/(3+ab+ac+bc) >= 1/2
<=> [1/(1+ac)+1/(1+ab)+1/(1+bc)]/3 >= 3/(3+ab+ac+bc) >= 1/2
car: (a+b+c)/3 >= 3/(1/a+1/b+1/c)
donc : [1/(1+ac)+1/(1+ab)+1/(1+bc)]/3>= 1/2

1/(1+ac)+1/(1+ab)+1/(1+bc)>= 3/2

slt
solution postee
voici la solution de cherif
SLT Mr SAMIR
voici ma sollution
ona qlq X>=1 X+1/X>=2
on prend X=ab+1 , ac+1 et bc+1
on obtient : 1/ab+1+1/bc+1+1/ac+1>=3-(ab+ca+bc)>=3-2(ab+bc+ca)
or a²+b²+c²=3 dnc 1/ab+1+1/ac+1+1/bc+1>=(a+b+c)²>=3/2
dnc l'inegalite

solution postee

solution non trouvée parmis mes mails (administration )

slt solution postèe
voici la solution de saiif
on met S=1/(ab+1) +1/(bc+1) +1/(ac+1) on a d après l inègalitè de cauchy_
shwarts on a (a²+1)(b²+1)>=(1+ab)² donc 1/(1+ab)² >=1/(a²+1)(b²+1) donc
1/(ab+1)>=1/rac((a²+1)(b²+1)) on va faire la mème chose avec 1/(1+bc) et
1/(1+ac) donc S>= 1/rac((a²+1)(b²+1)) +1/rac((b²+1)(c²+1))
+1/rac((a²+1)(c²+1)) on met x=a²+1 ,y=b²+1 et z=c²+1 donc S>=1/rac(xy)
+1/rac(xz) +1/rac(yz) donc S>=(rac(x)+rac(y)+rac(z))/rac(xyz)(**), et on a
d après l inègalitè de cauchy_ shwarts
(rac(x)+rac(y)+rac(z))(rac(yz)+rac(xz)+rac(xy))>=(3rac(rac(xyz))²=9xyz (*)
et on a a²+b²+2>=2rac(xy) et b²+c²+2>=2rac(yz) et c²+a²+2>= 2rac(xz) donc
2(a²+b²+c²)+6>=2(rac(yx)+rac(yz)+rac(zx)) donc 6>=rac(xy)+rac(yz)+rac(zx)
on a d après (*)
6(rac(x)+rac(y)+rac(z))>=(rac(x)+rac(y)+rac(z))((rac(yx)+rac(yz)+rac(zx))>=9
rac(xyz) donc 2(rac(x)+rac(y)+rac(z))>=3rac(xyz) donc
(rac(x)+rac(y)+rac(z))/rac(xyz) >=3/2 et d après (**) on a
S>=(rac(x)+rac(y)+rac(z))/rac(xyz) >=3/2 donc S>=3/2 de saiif 3301

salam alikom
solution postée
voici la solution d'aissa
salam alikom .
solution du pr n° 56:
a b et c positifs ; a²+b²+c²=3 alors : ab +ac +bc =< a²+b²+c²=3
alors (1+ab) +(1+ac) +(1+bc)=<6 (1)
donc [1+ab + 1+ac + 1+bc][1/(1+ab) + 1/(1+ac) + 1/(1+bc)]>=9 (2).
(1) et (2) entrainent : que 1/(1+ab) + 1/(1+ac) + 1/(bc) >=9/6=3/2
rq si x , y , z sont des réels strictement positifs alors :
(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z)>= 3²=9 résultat qui se généralise à n réels
(x_1+x_2+ x_n)(1/x_1+ 1/x_2 + ...+1/x_n) >=n².

انما يتذكر اولوا الالباب

Bonjour
Solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

Notons: x = (a²+b²)/2 ; y = (b²+c²)/2 ; z = (a²+c²)/2
On a : x + y + z = 3

On sait que : x >= ab ; y >= bc ; z >= ac
1 / (1+ab) >= 1/ (1+x) : 1/ (1+bc) >= 1/(1+y) : 1/(1+ac) >= 1/(1+z)
1/(1+ab) +1/(1+bc) +1/(1+ac) >= f(x) +f(y) +f(z) avec: f(x) = 1/ (1+x)
En utilisant le fait que f est convexe sur ]0;+00[; on déduit que:
1/(1+ab) + 1/(1+bc) +1/(1+ac) >= 3 f[(x+y+z)/3]= 3f(1) =3/2
D'où le résultat

Bijour
solution postée a+
voici la solution de MAhdi
Salam
voila ma solution :






de meme pour 1+ac et 1+bc
en sommant :

salut
solution postée
voici la solution de selfrespect
voici ma solution
posons x=1+ab;y=1+bc;z=1+ac,donc on voulait prouver que (1/x+1/y+1/z)>=3/2
on a qqsoient (x;y;z)de R^3
(1/x+1/y+1/z)(x+y+z)>=9
==>(1/x+1/y+1/z)>=9/(x+y+z)**
et (a-b)²+(a-c)²+(b-c)²>=0=
===> 2(a²+b²+c²)-2(ab+ac+bc)>=0
===>3>=ab+ac+bc
===>6>=x+y+z
===>1/(x+y+z)>=1/6
===>9/(x+y+z)>=3/2*
de **et* on deduit l inegalité cherchée

Sollution postée !
à+
voici la solution d'oumzil
Salut ,
voilà la sollution que je proposes :

on pose : A = 1/(1+ab) + 1/(1+bc) + 1/(1+ac) - 3/2
= 1/(1+ab) - 1/2 + 1/(1+bc) - 1/2 + 1/(1+ac) - 1/2
= [2-(1+ab)]/2(1+ab) + [2-(1+bc)]/2(1+bc) + [2-(1+ac)]/2(1+ac)
= [1-ab]/2(1+ab) + [1-bc]/2(1+bc) + [1-ac]/2(1+ac)
donc : A= [1-ab]/(2+2ab) + [1-bc]/(2+2bc) + [1-ac]/(2+2ac)
alors : A >= [1-ab]/(2+2ab+2ac+2bc) + [1-bc]/(2+2bc+2ac+2ab) + [1-ac]/(2+2ac+2bc+2ab)
alors : A >= (3-ab-bc-ac)/(2+2ac+2bc+2ab)
alors : A >= [a²+b²+c² - ab -ac -bc]/(2+2ac+2bc+2ab)

et on sait que : (a-b)²/2 >= 0 et (b-c)²/2 >= 0 et (a-c)²/2 >= 0
donc : (a²+b²)/2 - ab + (a²+c²)/2 - ac + (c²+b²)/2 -bc >= 0
alors : a²+b²+c² - ab - bc - ac >= 0
et puisque : (2+2ac+2bc+2ab) > 0 ( a,b,c > 0 )
alors : A >= 0
donc : 1/(1+ab) + 1/(1+bc) + 1/(1+ac) - 3/2 >= 0
alors : 1/(1+ab) + 1/(1+bc) + 1/(1+ac) >= 3/2

et bonne journée !
Oumzilmzil

solution postée
A+
voici la solution d'ashoka

solution postée. A+
voici la solution d'abbas