exercice important

1- prouve que l'equation x^3+x+1=0 admet une seule solution alpha dans IR et que alpha appartient a l'intervalle ouvert ]-1.0[

2- soit une fonction f definie par:
f(x)=3^rac(x+1) ; x est superieur ou egal a "alpha"
f(x)=(x-alpha²)/x-1 x est strictement inferieure à "alpha"

est ce que la fonction "f" ta9abouul??

salam

1) c'est classique

f(x) = x^3 + x + 1

f continue sur IR

f'(x) = 3.x² + 1 > 0 ====> f strict. croisste sur IR

f(0) . f(-1) = (1)(-1) < 0

Donc : il existe xounique E ]-1,0[ tel que : f(xo) = 0

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2) je note : f(x) = RCUB(x+1) pour x >= a

f(x) = (x-a²)/(x-1) pour x < a

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f est continue strict. croisste sur [a, +inf[

===> f([a,+inf[) = [f(a) , + inf[

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si a²=1 , f est constante sur ]-inf , 1[ =====> f n'est pas une bijection

si a² =/= 1,f est rationnelle , donc continue sur ]-inf, 1[ ;

f'(x) = (a²-1)/(x-1)² dont le signe est fixe

====> f strictement monotone et

a² > 1 ====> f(]-inf, 1[) = ]1,+inf[ ====> f non bijective

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a² < 1 ====> f(]-inf , 1[) = ]-inf , 1[

dans ce cas il faut comparer f(a) et 1

si f(a) >=1 , donc pour 0=< a <1 =====> f bijective de IR sur [-inf, 1[ U [f(a) , +inf[

si f(a) < 1 , donc pour -1 < a < 0 ; =====> f non bijective.

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d'ailleurs houssa tu doi faire la liaison entre alpha ke tu a trouvé dans la premiere kestion et alpha du 2 eme exercice pk tu a pris

si a²=1 ??? d'ailleurs a² appartient a ]0.1[ !