Equation fonctionnelle !

Déterminer toutes les fonctions continues sur R telles que pour tout (x,y) de R²: f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]
Bonne chance

Classique.
Solution :
Pour y=0, il vient f(0)=0.
Pour y=x, il vient f(2x)=4f(x).
Par récurrence, on prouve facilement que f(nx)=n²f(x).
Pour x=1 dans cette dernière formule, il vient f(n)=n²k, pour tout entier naturel n, où k est une constante réelle arbitraire.
On propage facilement à Z, puis à Q, puis à IR, en s'aidant dans cette dernière étape de l'hypothèse de continuité.
On vérifie finalement que toute fonction de la forme f(x)=x²k est en effet une solution.

Dijkschneier a écrit:

Classique.
Solution :
Pour y=0, il vient f(0)=0.
Pour y=x, il vient f(2x)=4f(x).
Par récurrence, on prouve facilement que f(nx)=n²f(x).
Pour x=1 dans cette dernière formule, il vient f(n)=n²k, pour tout entier naturel n, où k est une constante réelle arbitraire.
On propage facilement à Z, puis à Q, puis à IR, en s'aidant dans cette dernière étape de l'hypothèse de continuité.
On vérifie finalement que toute fonction de la forme f(x)=x²k est en effet une solution.

Parfait !