une suite dure

(exo 98 p138 almoufide)

soit une suite (Un) tel que Un+1 = Un^3 /[(1+Un^2)ArctanUn ] et U0=1

1) montrer que 0<=Un<=1
2) montrer que (Un) est convergente
3) déterminer la limite de (Un)


j'attende vos indices

ayoubmath a écrit:

(exo 98 p138 almoufide)

soit une suite (Un) tel que Un+1 = Un^3 /[(1+Un^2)ArctanUn ]

1) montrer que 0<=Un<=1
2) montrer que (Un) est convergente
3) déterminer la limite de (Un)


j'attende vos indices

Bonsoir ayoub
Je crois que tout repose sur l'étude de la fonction x-----> x^3/[(1+x²)Arctanx]
C'est une suite de nature Un+1=f(Un) si les conditions sont présentes , la limite est la solution de f(x)=x dans [0,1] !
P.S: pas d'informations sur U_0 ?

pardon U0=1

je considere la fonction x-----> x^3/[(1+x²)Arctanx] mais en vain

ayoubmath a écrit:

pardon U0=1

je considere la fonction x-----> x^3/[(1+x²)Arctanx] mais en vain

Je n'ai pas le temps de faire la dérivée haha
si la fonction est croissante , pas de problème tu trouveras que (U_n) est décroissante (puisque U0>U1) !
le reste découle facilement je suppose

j'ai approché a la solution merci

t sur que 0=<Un=<1
et nn pon po 0<Un=<1
pck si on a Un=0
on aura Un+1=0/0
=D.

mentalist il est vrai que 0<=Un=<1
car si tu calcul U6 ca va te donner 0 et alors tu ne pourra plus calculer U7
Est ce que cette suite ne contiens que 6 terme ??

la dérivé est trop long stp qq aurait trouve si elle est croissante ou pas?

ayoubmath a écrit:

(exo 98 p138 almoufide)

soit une suite (Un) tel que Un+1 = Un^3 /[(1+Un^2)ArctanUn ] et U0=1

1) montrer que 0<=Un<=1
2) montrer que (Un) est convergente
3) déterminer la limite de (Un)


j'attende vos indices

Vous pouvez suivre un débat sur cet exo ICI :

http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=1&identifiant=4373ee0c4f49d5299e622551b2e490a6

Bonne Découverte !!

Amicalement . LHASSANE

euh si je vois bien
Un est situe entre 0 et 2/PI
desole je sais toujours pas comment bien maitriser le language mathematiques sur Pc ( Les signes koi .. :s )

SAlut vous pouvez prendre la fonction
f(x)=x^3 /[(1+x^2)Arctanx ]
prouvez que f'(x)<0
utilisez la récurrence pour montrez que Un>Un+1 en utilisant le fait que f est decroissante

salam

introduction
==========
1) f(x) = x/(1+x²)

son étude simple ====> f croissante et sur[0,1] : 0<f(x) < 1/2

2) un résultat connu : sur [0, pi] : 0< sinx < x

g(x) = tanx / x : étude sur ]0,pi/4]

g'x) = ....... = (2x - sin2x)/ 2x²cos²x > 0

===> g croissante

3) h(x) = x/ arctanx sur ]0,1]

x=tany ====> h(x) = g(y) = goArctan(x) , y€ ]0,pi/4]

g et Arctan sont croissantes ====> h croissante

4) lim (en0+)g(x) =1 ====> lim(en0+) h(x) = 1

===> 1<h(x) < h(1) ====> 1< h(x) < 4/pi

5) sur ]0,1]

0 < f(x).h(x) < (1/2).(4/pi) = 2/pi < 1

_______________________________________


revenons à la suite :


1) par récurrence 0 < Uo =< 1

supposons 0 < Un =< 1

U(n+1) ) = f(Un).h(Un).Un

====> 0 < U(n+1) < 2/pi .Un < Un =< 1

2) la suite est décroissante minorée ===> converge.

3) Par récurrence : 0 < U(n+1) < (2/pi)^n .Uo (suite géométrique)

=====> limUn = 0

_________________________________________

j'attend vos réactions