- saad chafi a écrit:
- j'ai besoin d'aide pour résoudre une limite qui me parait un peu délicate sans l'hopitale
lim (sinx-x)/(tanx-x)
x->0
Salut j'ai une méthode un peu longue mais qui ne sort pas du programme Terminale SM :
Dans un premier temps on montre l'inégalité suivante :
:\,%20x-\frac{x^{3}}{3!}%3C\sin%20x%3Cx-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!})
On considère la fonction suivante :
=\sin%20x-x+\frac{x^{3}}{3!})
f, f' et f'' sont dérivables sur
IR+.
On a :
:f^{(3)}(x)=1-\cos%20x\geq%200)
:f''(x)%3E%20f''(0)=0(strictement\,%20croissante))
:f'(x)%3E%20f'(0)=0(strictement\,%20croissante))
:f(x)%3E%20f(0)=0(strictement\,%20croissante))
:\sin%20x%3Ex-\frac{x^3}{3!})
D'autre part on considère la fonction :
=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}-\sin%20x)
g,g',g'',g''' et g'''' sont dérivables sur
IR+.
On a :
:g^{(4)}(x)=1-\sin%20x\geq%200)
:g^{(3)}(x)%3Eg^{(3)}(0)=0(strictement\,%20croissante))
:g''(x)%3Eg''(0)=0(strictement\,%20croissante))
:g'(x)%3Eg'(0)=0(strictement\,%20croissante))
:g(x)%3Eg(0)=0(strictement\,%20croissante))
:\sin%20x%3Cx-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!})
CQFDPar ailleurs on a :
:-x\in%20\mathbb{R^+}\Rightarrow%20(\forall%20x\%20\mathbb{R^-}): x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}%3C%20\sin%20x%3Cx-\frac{x^3}{3!})
d'où :
:\frac{-1}{3!}%3C%20\frac{\sin%20x-x}{x^3}%3C%20\frac{-1}{3!}+\frac{x}{4!}\Rightarrow%20\lim_{x\to0}\frac{\sin%20x%20-x}{x^3}=\frac{-1}{6})
On a aussi :
)
=\frac{1}{3})
On conclut par là que :
Sauf erreur ...
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