equation fonctionelle

Bsr,

trouver toutes les fonctions qui vérifient :

f(x+y) = f(x) + f(y) +2xy+1 et f(1)=a

Salut ,
on a :

f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1 <=> f(x+y)-x²-y²-2xy-1=f(x)-x²+f(y)-y²
<=> f(x+y)-(x+y)²=f(x)-x²+f(y)-y²

on pose : g(x) = f(x) - x² et g(1) = f(1)-1 = a-1
alors notre équation devient : g(x+y)=g(x)+g(y)
pour y=1 : g(x+1)=g(x)+a-1
<=>g(x+1)-g(x)=a-1
donc g(x) est une fonction affine alors g(x)=(a-1)x+b
d'où f(x) = (a-1)x+b+x²
pour x=1 : f(1)=a+b=a <=> b=0
on conclut alors que : f(x)=x²+(a-1)x

réciproquement f est bien une solution .