exercices de fonction:

M.Marjani a écrit:

J'ai essayé le Sam 18 Déc 2010, pour ton exercise voiçi ce que j'ai pu faire:
On voit bien que f(x)=Cos(x)/(1+V(1+x²))=0 est réalisé pour x=Pi/2.
Pour x=pi f(x)=-1/(1+V(1+pi²)) alors il existe un min de f(x) inférieur de 0 donc Cos(x)<0.
Pour que f(x)=Cos(x)/(1+V(1+x²)) soit minimal tel que Cos(x)<0 il faut chercher x² tel que x² est minimal pour que 1/(V(1+x²)+1) soit maximal. Donc Pi/2=<x=<Pi, et de la parité de f

Spoiler:

On déduit que -Pi=<x=<-Pi/2. Or pour tout x£[-Pi, -Pi/2] On a x>y => Cos(x)>Cos(y) (1)
Et x>y => x²<y² => V(x²+1)+1<V(y²+1)+1
<=> 1/(V(x²+1)+1) > 1/(V(y²+1)+1) ==> (2)
En multipliant (1) et (2) on aura: x>y => f(x)>f(y) , donc f est montone sur [-Pi, -Pi/2].
Donc f(x) atteint son min sur x=-pi d'ou f(x)=Cos(x)/(1+V(x²+1))>=Cos(-Pi)/(1+V(Pi²+1))
Min(f(x)) = -1/(1+V(Pi²+1)). Elle atteint son min dans deux points, Pi et -Pi
Sauf error ?

Que c'est choquant!
J'ai déjà dit que f n'admet pas de minimums.
Pour te convaincre, essaie avec WolframAlpha.

Si elle admet un min , regarde bien avec wolfram nmo , elle admet un min globale

darkpseudo a écrit:

Si elle admet un min , regarde bien avec wolfram nmo , elle admet un min globale

A toi de voir:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=min+%5Cfrac%7B%5Ccos%7Bx%7D%7D%7B1%2B%5Csqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%7D.

salam:

le fonction n'admet pas de minimum sur son domaine de définition, sinon si on parle d'un

intervalle précise, bien sur il peut avoir un min.

tanmirt

nmo a écrit:

darkpseudo a écrit:

Si elle admet un min , regarde bien avec wolfram nmo , elle admet un min globale

A toi de voir:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=min+%5Cfrac%7B%5Ccos%7Bx%7D%7D%7B1%2B%5Csqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%7D.

Au fait wolfram c'est pas le coran , elle admet un min ( les deux premier local minima dans ce que tu m'as passé ) regarde le dessin de la fonction , je pense qu'il y a un truc qui cloche dans l'algorithme de wolframalpha car dans le dessin on vois clairelement le min alors que dans la page il dit qu'il y en a pas , peut être est de à la périodicité de la fonction cos , ça a du lui brouillé le travail .

Bon, je vais garder vos solutions jusqu'à ce que mon professeur suggère la sienne.
Merci en tout cas pour vos éclairages.

M.Marjani a écrit:

Pour x=pi f(x)=-1/(1+V(1+pi²)) alors il existe un min de f(x) inférieur de 0 donc Cos(x)<0.

Il n'y a aucun lien logique entre les propositions mises en rouge.
S'il existe un, personnellement je ne le vois pas.

M.Marjani a écrit:

J'ai essayé le Sam 18 Déc 2010, pour ton exercise voiçi ce que j'ai pu faire:

On voit bien que f(x)=Cos(x)/(1+V(1+x²))=0 est réalisé pour x=Pi/2.
Pour x=pi f(x)=-1/(1+V(1+pi²)) alors il existe un min de f(x) inférieur de 0 donc Cos(x)<0.
Pour que f(x)=Cos(x)/(1+V(1+x²)) soit minimal tel que Cos(x)<0 il faut chercher x² tel que x² est minimal pour que 1/(V(1+x²)+1) soit maximal. Donc Pi/2=<x=<Pi, et de la parité de f

Spoiler:

On déduit que -Pi=<x=<-Pi/2. Or pour tout x£[-Pi, -Pi/2] On a x>y => Cos(x)>Cos(y) (1)
Et x>y => x²<y² => V(x²+1)+1<V(y²+1)+1
<=> 1/(V(x²+1)+1) > 1/(V(y²+1)+1) ==> (2)
En multipliant (1) et (2) on aura: x>y => f(x)>f(y) , donc f est montone sur [-Pi, -Pi/2].
Donc f(x) atteint son min sur x=-pi d'ou f(x)=Cos(x)/(1+V(x²+1))>=Cos(-Pi)/(1+V(Pi²+1))
Min(f(x)) = -1/(1+V(Pi²+1)). Elle atteint son min dans deux points, Pi et -Pi

Sauf error ?

Personnelement , je ne c'est pas si c'est faux ou vrai mais je ne vois pas pourquoi vous avez utilise la parite de f.parce que pour tout x£[Pi/2 ,Pi] on a
x>y =>cos(x)<cos(y) et 1/(1+V(1+x²))<1/(1+V(1+y²)) => f(x) < f(y).
alors pour tout x £ [Pi/2,Pi] ,f adment un minimum en Pi .
sauf erreur et merci.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Pour x=pi f(x)=-1/(1+V(1+pi²)) alors il existe un min de f(x) inférieur de 0 donc Cos(x)<0.

Il n'y a aucun lien logique entre les propositions mises en rouge.
S'il existe un, personnellement je ne le vois pas.

Ben si j'ai bien compris ce que veut M.Marjani dire, c'est que il existe une valeur negative a f en Pi(y'a d'autres valeurs aussi).alors ce minimum doit obligatoirement ce trouver quand f est negative. et puisque 1+V(1+x²) est toujours positif alors cos(x) doit etre negatif. ce qui reduit le domaine de recherche de [-1,1] a [-1,0] alors de [-TT,TT] a [-TT,-TT/2]U[TT/2,TT]. sauf erreur et merci

M.Marjani a écrit:

Monsieur! On cherche un minumum pour f : )
En effet, s'il existe un réel alpha appartenant à un intervalle -qui en le remplaçant dans cos(alpha)- fonctionne en affichant qu'il est négatif, alors f(x) sera négatif ce qu'on cherche bien, on admet que cos(alpha) sera négatif pour trouver le minimum qu'on cherche, puisqu'on travail sur IR.

Pas tout à fait cela, mais c'est bien.
J'ai une démonstration en tête, mais qui n'est pas parfaite.
Je vais l'écrire ici pendant la prochaine vacance.
Voici mon problème nouveau:
Il me reste de prouver que si la fonction admet un minimum en un point, ce point n'appartient pas à l'intervalle .
Personnellement, j'ai tant essayé mais en vain, et la solution de mon professeur n'est pas satisfaisante (elle traite un cas seulement!!).
Comme ça, je peux perfectionner ma solution.

Pour rendre ma methode plus clair, je vais traduire cette phrase en un language mathématique:

Citation :

Pour que f(x)=Cos(x)/(1+V(1+x²)) soit minimal tel que Cos(x)<0 il faut chercher x² tel que x² est minimal pour que 1/(V(1+x²)+1) soit maximal. Donc Pi/2=<x=<Pi

Soit un réel tel que et un réel tel que et que et [imghttp://latex.codecogs.com/gif.latex?n\in%20\mathbb{N}[/img



Car f(alpha) qui sera la valeur minimal.
Remarquez que

Ce que j'ai voullu démontrer, c'est que si nous faisons tourner x sur le cercle trigonométrique, x prend des valeurs plus grand, puisque f(x) est négative, alors quand x prend de grand valeurs, f(x) tend vers une valeur positive, ce qui se contredit avec ce qu'on cherche. Donc l'intervalle qui suffira de l'étudier est ce que j'ai présenter.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Monsieur! On cherche un minumum pour f : )
En effet, s'il existe un réel alpha appartenant à un intervalle -qui en le remplaçant dans cos(alpha)- fonctionne en affichant qu'il est négatif, alors f(x) sera négatif ce qu'on cherche bien, on admet que cos(alpha) sera négatif pour trouver le minimum qu'on cherche, puisqu'on travail sur IR.

Pas tout à fait cela, mais c'est bien.
J'ai une démonstration en tête, mais qui n'est pas parfaite.
Je vais l'écrire ici pendant la prochaine vacance.
Voici mon problème nouveau:
Il me reste de prouver que si la fonction admet un minimum en un point, ce point n'appartient pas à l'intervalle .
Personnellement, j'ai tant essayé mais en vain, et la solution de mon professeur n'est pas satisfaisante (elle traite un cas seulement!!).
Comme ça, je peux perfectionner ma solution.

Je ne pense pas que tu vas trouver une methode, mais essaye.

J'aime bien vous dire que l'exercice proposé par mon professeur est faux, inutile de le résoudre!!!
Je commence à avoir des soucis qui convergent vers l'existance du minimum de la fonction f.
Je demande à ceux qui maîtrisent la continuité, est-ce que vraiment la fonction admet un minimum? (sans le déterminer).
Merci d'avance.