probleme

problème:

soit S_n=(la somme de i=1 vers i=n) i^i

montrer que 5 divise S_100

bonne chance

tu veux dire : S_n= 1 +2^2+3^3+.....n^n ??
Bon voila une petite soluce bourrin :
on a S_100 = (1+6^6+11^11+....+91^91+96^96)+(5^5+10^10+...+100^100) + ( 2^2+7^7+12^12+...92^92+97^97)+(3^3+8^8+....+93^93+98^98)+(4^4+9^9+....+99^99)

maintenant vu que la congruence est periodique et que c'est facil , les premiers termes sont congru à 0 ( je veux dire leur somme ) modulo 5 les seconds à 0 les troisièmes à 0
bref tous sont congru à zero modulo 5 séparemment donc leur somme l'est aussi , au fait ceci découle directement du fait qu'un nombre ne peut être congru qu'a 0,1,2,3,4 modulo 5 si on enlève le cas du 0 et 1 qui son évident , un nombre qui est congru à 2,3ou4 modulo 5 verra respectivement ces 4 puissances suivante congru à 1,2,3,4 modulo 5 ( enfin pas dans le même ordre ) vu que 1+2+3+4=10 et qu'on a 20 membres leurs somme sera congru à 50 modulo 5 qui veux dire 0 modulo 5 .
Désolé pour la redaction un peu farfelu c'est les controles :p

Je vais faire le résonnement pour (3^3+8^8+....+93^93+98^98) :
d'abord remarquons qu'on à 20 termes ( 3,8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58,63,68,73,78,83,88,93,98)
Et aussi on à :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?1\equiv%201\left%20[%205%20\right%20]%20...%203\equiv%203\left%20[%205%20\right%20]%20...%20.%203^{2}=9\equiv%204\left%20[%205%20\right%20]...3^3\equiv%202[%205%20\right%20]]...3^{4}\equiv%201%20\left%20[%205%20\right%20][/img]

Tu verra qu'après c'est périodique , ça vas se répeter , donc cette somme est congru à ( 2+1+3+4+2+1+3+4+2+1+3+4+2+1+3+4+2+1+3+4)=50 modulo 5 ce qui veux dire qu'elle est congru à 0 modulo 5 ... même chose pour les autres séries de nombres , et en les additionnant on aura le résultat voulu .

PS : désolé pour le double post c'est pour répondre à une demande !