probleme avec fonction k-lipschitzienne

salam (je propose cet exo pour TSM)

on dit q'une fonction k-lipschitzienne définie sur I et k>0 si
A
1-montrer que f est continue sur I
2-soit montrer que l'équation f(x)=x admit une unique solution
3- (on suppose que k<1) soit la suite Un définie par et montrer que

B
1-montrer que : f est k-lipschitzienne <==> f' est borné
2-soit la fonction g(x)=kx+sin(x) montrer que g est k-lipschitzienne
3-montrer que g est une bijection de R vers R
4-montrer que est k-lipschitzienne


amicalement AL-pironi

je veux bien savoir vos idées surtout sur la question A-3
et merci pour vos indices

AL-pironi a écrit:

salam

on dit q'une fonction k-lipschitzienne définie sur I et k>0 si
A
1-montrer que f est continue sur I
2-soit montrer que l'équation f(x)=x admit une unique solution
3-soit la suite Un définie par et montrer que

B
1-montrer que : f est k-lipschitzienne <==> f' est borné
2-soit la fonction g(x)=kx+sin(x) montrer que g est k-lipschitzienne
3-montrer que g est une bijection de R vers R
4-montrer que g-1 est k-lipschitzienne


amicalement AL-pironi

puisque l'intervalle I est stable par f , on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires , mais pour déduire que la solution est unique , peut-être qu'il faut que 0 < k < 1 ...

Pour la question A-3 si tu remplace dans l'inégalité x par Un et y par a tel que f(a) = a

tu verra que les terme de la suite ce telescopent par multiplication et t'aura un joli k^n à la fin donc la limite vers l'infini est 0 ce qui te permet de conclur .
Amicalement

SAlut,
@darkpseudo , tu peux pas poser f(a)=a puisque c'est la visée de la question puis ..conclure que Un est convergente puis conclure que f(a)=a , ca tourne en rond

J'ai pas dis que f(a) = a ( merci de bien lire ) j'ai dis qu'on a f(a) = a c'est un acquis de la question précedente , bref je pense que c'est une question assez fréquente et pas très difficile donc pas la peine de la mastiquer pour rien .

Ici , nous avons traité cet exercice dans un cas particulier , celui de k=1 http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=1&identifiant=0db82073e15df1f45a645328d402c368 .

Oui Tarask , votre methode similaire a la mienne
aussi on a I=[a,b] et f(I) ⊂I
donc a<f(x)<b et a<f(y)<b
alors a-b<f(x)-f(y)<b-a
en passant la valeur absolue |f(x)-f(y)|<|a-b|
et on
donc k =1

stylo vs calculator a écrit:

Oui Tarask , votre methode similaire a la mienne
aussi on a I=[a,b] et f(I) ⊂I
donc a<f(x)<b et a<f(y)<b
alors a-b<f(x)-f(y)<b-a
en passant la valeur absolue |f(x)-f(y)|<|a-b|
et on
donc k =1

Pas forcément je dirai ...

AL-pironi a écrit:

salam (je propose cet exo pour TSM)

on dit q'une fonction k-lipschitzienne définie sur I et k>0 si
A
1-montrer que f est continue sur I
2-soit montrer que l'équation f(x)=x admit une unique solution
3- (on suppose que k<1) soit la suite Un définie par et montrer que

B
1-montrer que : f est k-lipschitzienne <==> f' est borné
2-soit la fonction g(x)=kx+sin(x) montrer que g est k-lipschitzienne
3-montrer que g est une bijection de R vers R
4-montrer que est k-lipschitzienne


amicalement AL-pironi

salam:

pour A-3:

on a (Un)n est définie comme Un+1=f(Un)

soit l=lim(Un) donc l=f(l), comme f est k-lipschitzienne contractante donc elle admet un point fixe (comme dans les questions précédents)

d'après l'unicité du point fixe :comme on a f(alfa)=alfa et l=f(l) ==>l=alfa

=>limUn=alfa

tanmirt