Définie par une limite.

Bonsoir à vous ,


Soit f une fonction définie par : f(x) = lim(n > +oo) ( 1/n) Sigma( de " k=0" à " n-1) e^(kx/n)
1) Prouvez que f(0)=1 .
2) Prouvez que pour tout x de R* on a : f(x)= (e^x - 1) / x
Déduisez que f est continue en 0 .

soit x E ]0 , +oo[ prouver qu'il existe un réel c appartenant à ]0,x²[ avec : (e^x -x-1)/x² = 1/2 ( ( e^racine(e) -1 ) / racine(c) )


Merçi à vous.

salam:

1) f(0)=lim (1/n) Sigma( de " k=0" à " n-1).1 =lim (1/n)(1+1+.....+1)=lim (1/n).n=lim. n/n=1.

2) Sigma( de " k=0" à " n-1) e^(kx/n)= Sigma( de " k=0" à " n-1)( e^(x/n))^k

=(e^(x/n))^n - 1)/(e^(x/n) - 1)= (e^(x) - 1 )/(e^(x/n) - 1)

=>f(x)=lim{n->+00} (1/n)Sigma( de " k=0" à " n-1) e^(kx/n)

=lim{n->+00} (1/n)(e^(x) - 1 )/(e^(x/n) - 1)=im{n->+00} (e^(x) - 1 )/n(e^(x/n) - 1)

et lim{n->+00}n(e^(x/n) - 1) = x

=>pour tout x de R* on a : f(x)= (e^x - 1) / x.

lim{x->0}f(x)=lim{x->0} (e^x - 1) / x=lim{x->0}(e^x - e^(0)) /( x-0)=e'^(0) = e^(0)=1

donc lim{x->0}f(x)=f(0) ,ainsi f est continue en 0.


utilise TAF sur ]0,x²[ .

tanmirt