f définie sur IN*

soit f une fonction définie de IN* ===> IN*
telle que : f(f(n))=f(n+1)-f(n)

a-montrer que f(n)>=n
b-toutes toutes les fonctions f qui vérifient la condition ci dessus

commencons par la question a:
on va utiliser une recurrence sur n
pour n=1 la relation est vrai puisque f est definie sur N*
suposons que la relation est vrai pour n et demontrons qu'elle l'est pour n+1
f(n+1)=f(f(n))+f(n)>=f(f(n))+n>=1+n
recurence achevee
je reflechit a la question b

oui ces exos que je propose (equation sur IN) c de la pure recurrence

callo a écrit:

soit f une fonction définie de IN* ===> IN*
telle que : f(f(n))=f(n+1)-f(n)
...
b-toutes toutes les fonctions f qui vérifient la condition ci dessus

Montrons d'abord que f(1)>1 :
Si f(1)=1 : f(2)-f(1)=f(f(1))=1 et f(2)=2
Alors f(3)-f(2)=f(f(2))=2 et f(3)=4
Alors f(4)-f(3)=f(f(3))=f(4), ce qui est impossible
Donc f(1)>=2
Alors, comme f(n+1)=f(n)+f(f(n))>=f(n)+1, on a f(n)>=f(1)+n-1 et donc f(n)>=n+1

Soit alors f(n)>=n+a pour tout n>1, avec a>=1
On a alors f(f(n))>=f(n)+a
Donc f(n+1)=f(n)+f(f(n))>=2f(n)+a
Alors :
Si n>1, f(n+1)>=2(n+a)+a=2n+3a>=(n+1)+(a+2)
Si n=1, f(2)>=2f(1)+a>=4+a>=2+(a+2)
Donc f(n)>=n+a+2 pour tout n>1

Ainsi, on a démontré que f(n)>=n+a pour tout n>1 et a>=0 implique f(n)>=n+a+2 pour tout n>1

Comme on a établi au préalable que f(n)>=n+1 pour tout n>0, on établit immédiatement que f(n)>=n+2k+1 pour tout n>1 et tout k>=0.

Donc f(n) est aussi grand que l'on veut et f n'existe donc pas.

Il n'y a pas de solution à l'équation fonctionnelle proposée.

--
Patrick

bonjour
j'ai fait presque la meme demarche sauf que je ne connaissait pas la derniere propriete "f(n) est aussi grand que l'on veut et f n'existe donc pas."
tu pourrait mieux me l'eclercir Mr Patrick?

wiles a écrit:

bonjour
j'ai fait presque la meme demarche sauf que je ne connaissait pas la derniere propriete "f(n) est aussi grand que l'on veut et f n'existe donc pas."
tu pourrait mieux me l'eclercir Mr Patrick?

Et bien, on a f(n)>=n+2k+1 pour tout n>1 et tout k>0.
Prenons alors k=f(n) et il vient :
f(n)>=n+2f(n)+1, soit f(n)+n+1 <=0, ce qui est clairement impossible.

Donc f n'existe pas.

--
Patrick

tres bonne idee!! merci pour l'explication.

tt simplemet pour le b :on va supose qu'il ya nde N tel que
f(n)>=n+1 (f tazyodya strictement car f(n+1)-f(n)=f(f(n)£N*
donc f(f(n)>=f(n+1) donc f(n+1)-f(n)>f(n+1) => -f(n)>0
donc f(n)<n+1 donc f(n)=n=>f(f(n)=f(n)=n=f(n+1)-f(n)=n+1-n=1 donc n=1 dou la contradiction car que soit n de N donc n(admet pas de solution