décomposition en élts simples

décomposer F=(2x+1)/((x+1)^3(x^2+1))
G=(x^5+2x^2+1)/(x^2+x+1)^3
merci de m'aider

Mona a écrit:

décomposer F=(2X+1)/((X+1)^3(X^2+1))
..........................
merci de m'aider

Salut Mona .
Je t'aide pour la 1ère !
On va la décomposer en éléments simples dans IR(X).

Suivant la Méthode Pratique que Tu as dû voir en Cours , il faut opérer ainsi :

1) La partie entière c'est E(X)=0 .
2) Un seul pôle réel -1 , qui est triple .
3) On fait le changement d'indéterminée T=X+1 , la fraction F(X) devient , tous calculs faits :
F(X)=(2.T - 1)/{T^3 .(T^2-2.T+2)}
4) Tu effectues la Division Selon les Puissances Croissantes de (-1+2.T) par (2-2.T+T^2)
à l'ordre 3
ATTENTION : il ne s'agit pas de Division Euclidienne !!!!
On trouveras alors :
(-1+2.T)=(2-2.T+T^2).{(-1/2)+(1/2).T+(3/4).T^2} + T^3.{(1/2)-(3/4).T}
Après on divise par T^3 .(T^2-2.T+2) pour obtenir :
F(X)=(-1/2)/T^3 + (1/2)/T^2 + (3/4)/T + {(1/2)-(3/4).T}/(T^2-2.T+2)

Ce qui donnera , si on remplace T par (X+1)

F(X)=(-1/2)/(X+1)^3 + (1/2)/(X+1)^2 + (3/4)/(X+1) - (1/4).{3.X+1}/(X^2 + 1))


Telle est la décomposition en éléments simples de F(X) dans IR(X)

Si maintenant , tu veux celle dans C(X) , tu devras continuer ..... et décomposer la fraction rationnelle
H(X)= {3.X+1}/(X^2 + 1))

elle est plutôt facile ICI et s'écrit ainsi
H(X)=A/(X-i) + B/(X+i) ou A et B sont des complexes à déterminer par IDENTIFICATION par exemple .
Remarque : ici on aura B=A(barre) =Conjugué de A ; ce qui est une réelle simplification .....

Mes Salutations .

Lotus_Bleu


PS : J'ai fait les Calculs à la main et donc il se peut qu'il y ait des erreurs ...
Tu devrais t'entrainer davantage à faire des décompositions et c'est de cette manière que l'on peut acquérir de
l'expérience .

Salut Mona
merci mon amis Lotus_Bleu sur decomposition en els simples F(x).

==> Pour la decomposition de G(x):

G(x)=P(x)/Q(x) avec P(x)=x^5 + 2x² + 1
Q(x)=(x² + x + 1)^3
la decomposition de G(x) d'ecrit comme suivant:
G(x)=E(x) + [(ax +b) / (x² + x +1)] +[(cx + d) / (x² + x +1)²] + [(mx + n) / (x² + x +1)^3]


On a E(x)=0 (car deg Q(x)>deg P(x))
alors G(x)=[(ax +b) / (x² + x +1)] +[(cx + d) / (x² + x +1)²] + [(mx + n) / (x² + x +1)^3]
<=> G(x)={[(ax +b) * (x² + x +1)²] +[(cx + d) * (x² + x +1)] + (mx + n)} / {(x² + x +1)^3}
<=> G(x)=[a.x^5+(2a+b).x^4+(3a+2b+c).x^3+(2a+3b+c+d).x^2+(a+2b+c+d+m).x+(b+d+n)] / [(x² + x +1)^3]
<=> G(x)=[x^5 + 2x² + 1] / [(x² + x +1)^3]

donc

[a.x^5+(2a+b).x^4+(3a+2b+c).x^3+(2a+3b+c+d).x^2+(a+2b+c+d+m).x+(b+d+n)]=[x^5 + 2x² + 1]

alors
a=1 et 2a+b=0 et 3a+2b+c=0 et 2a+3b+c+d=2 et a+2b+c+d+m=0 et b+d+n=1
après calcul des equations on trouve que:
a=1 et b=-2 et c=1 et d=5 et m=-3 et n=-2

donc G(x)=[(x-2) / (x² + x +1)] +[(x +5) / (x² + x +1)²] - [(3x+2) / (x² + x +1)^3]

Fouadaz