projecteurs associés à une décomposition

soit E un ev
et soient p_1,p_2,.....p_n des projecteurs de E tel que p_i*p_j=p_j*p_i pour tt i,j de [1,n] , on suppose que p_1+p_2+..p_n=Id(E) ,montrez que : E=Imp_1+Imp_2+...Imp_n et que cette somme est directe

Il manque l'hypothèse p_i*p_j=0 si i#j

abdelbaki.attioui a écrit:

Il manque l'hypothèse p_i*p_j=0 si i#j

avec tout mon respect ,mais vous avez tort Monsieur Attioui , ce qui rend l'exo interessant est l'absence de cette hypothèse (sinon essayez de trouver un contre exemple)
Bonne journée

neutrino a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

Il manque l'hypothèse p_i*p_j=0 si i#j

avec tout mon respect ,mais vous avez tort Monsieur Attioui , ce qui rend l'exo interessant est l'absence de cette hypothèse (sinon essayez de trouver un contre exemple)
Bonne journée

En tout cas, la décomposition donne p_i*p_j=0 si i#j

Montrons que ( en dimension finie)
pi²=pi , pi pj=pj pi pour tous i,j et I=p1+...+pn ===> pour tous i et j, i#j , pi pj=0


Si p²=p alors Tr(p)=rg(p). En effet E est somme directe de Ker(p) et Im(p).
Dans une base adaptée, la matrice de p est semblable à I_r où r=rg(p) ==> Tr(p)=r=rg(p)

Pour tout i , sum(j#i) pi pj =0
Mais pipj est un projecteur ( car pi pj=pj pi )
==> Tr(pipj)=rg(pipj)
==> Tr( sum(j#i) pi pj)=sum(j#i) Tr(pi pj) =sum(j#i) rg(pi pj) =0 ( car Tr une forme linéaire)
==> qqs j#i , rg(pipj)=0 (car rg>=0)
==> qqs j#i, pipj=0