Soit K un sous corps de C et soit (E,+,.) un K-ev .
On note I l'identité de E et 0tilde l'application nulle de E vers E .
1)
a) Soit f et g 2 endomorphismes de E.
Montrer que si gof=fog, alors Ker f et Im f sont stables par g.
b)Montrer qu'un projecteur de E commute avec un endomorphisme u de E si et seulement si Ker p et Im p sont stables par u.
2)Soient p et q des projecteurs de E.
a)Montrer que si poq+qop=0tilde, alors poq=qop=0tilde .
b)Montrer que p+q est un projecteur de E ssi poq=qop=0 tilde.
Montrer que dans ces conditions Im(p+q)=Im+(en somme direct)Im q et que Ker(p+q)=Ker p inter Ker q
3)Soit u un endomorphisme de E pour lequel existent 2 elements distincts k et l de K tel que (u-kI)o(u-lI)=0tilde
on note p=1/(l-k)*(u-kI) et q=1/(k-l)*(u-lI)
a)Mq p et q sont des projecteurs.
b)Exprimer u à l'aide de p et q en deduire l'expression des puissances entieres positives de u en fonction de p et de q
c)Mq si kl est non nul, u est inversible, et calculer son inverse en fonction de p et q. Generaliser les resultats de la question precedente au puissances entieres negatives
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