Moyenne arithmétique de projecteurs

Soit E un K-ev, et n un entier naturel non nul tq f^n=id ( f^n=fofof...of n fois ) où f un endomorphisme de E.
soit p un projecteur de E et on définit q tq :
.
Montrer que q est un projecteur de E.

f automorphisme d'ev?

on a q=1/n somme(f(k)opof(-k),k=0..n-1)
on remarque que foqof(-1)=q et en general pour tout k f(k)oqof(-k)=q en sommant de 0 a n-1 on trouve que q=1/n*(somme f(k)oqof(-k))
et en remplacons q par 1/n somme(f(k)opof(-k),k=0..n-1) et utlisant le fait que p est projecteur
on trouve que q=qoq q est donc un projecteur

sauf erreur bien sur

Dsl mais mon raisonnement si il existe un espace vectoriel V tq V reste stable par f et je pense qu il faut ajouter cette condition sinn c faux

si la projection de E est V tq V n est pas stable par f ca ne marche pas essaye regarder la projecteur dont la matrice est (1,0,0,0) est l endomorphisme dont la matrice est (1,-3,1,-2) un peu de calcul et vous verrez mais apparement personne ne s interresse a ca donc voila bon ^^

Le résultat est en fait un peu plus général (il est valable pour toute représentation (E,ro) d'un groupe G et énonce que la moyenne q du projecteur p suivant G est un projecteur de même image et un G-morphisme (q ro_k = ro_k q, pour tout k de G) ; ici G=Z/nZ et ro_k = f^k) et constitue le corps de la preuve du thm. de Maschke (il faut d'ailleurs préciser que la carac. de K ne divise pas l'ordre de G, ou prendre simplement K un sous-corps de C). La preuve demeure tout à fait semblable.