- yassine1621 a écrit:
- Bonjour,
p un projecteur du K-espace vectoriel F.
Je n'arrive pas à montrer que IdF + p est un isomorphisme linéaire.
..............
et après comment trouver la bijection réciproque ?
BSR à Toutes et Tous !!
Si p est un projecteur ( p^2=p ) de F alors
on sait que F est Somme Directe de Imp et Kerp et que tout élément x dans F s'écrit comme x=u+v
avec u dans Imp et v dans Kerp , en outre on a même :
u=p(x) et v=x-p(x)
Dans ce cas {IdF + p}(x)=x+p(x)=2.u + v
Il est clair que IdF+p est un endomorphisme de F .....
1) IdF+p est INJECTIVE car si x est dans Ker{IdF+p} alors 2u+v=0 donc 2u=-v serait à la fois dans
Imp et Kerp or Imp ^ Kerp={0} d'ou u=v=0 et donc x=0 .
2) IdF+p est SURJECTIVE ...
C'est un travail calculatoire :
Trouver x dans F tel que x+p(x)=y avec y donné dans F ????
On aura p(x+p(x))=p(x)+p^2(x)=p(x)+p(x)=2.p(x)=p(y)
D'ou ,
si IK est de caractéristique différente de 2, p(x)=(1/2).p(y) puis x=y-p(x)=y - (1/2).p(y)
En définitive:
{IdF+p}^(-1)=IdF-(1/2).p Lorsque IK est de caractéristique 2 alors 2.y=0 pour tout y dans F .
Donc {IdF+p}(x)=x+p(x)=-x-p(x)={IdF+p}(-x) et par suite IdF+p ne saurait
être INJECTIVE donc le problème ne se pose plus .....
LHASSANE
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