I):on considère l'ensemble E des fonctions définies sur IR par:
f(x)=(ax²+bx+c)e^x ou a b et c sont des réels.
1-montrez que (E,+,.) est espace vectoriel réel.
2- on considère les fonctions : f_1(x)=e^x , f_2(x)=xe^x et
f_3(x)=x² e^x
montrez que B_o= (f_1,f_2,f_3) est une base de (E,+,.).
3-donnez les coordonnées de f(x)=(1/2*x²-x+ 3)e^x relativement à la base B_o.
II- F(+,.)étant l'espace vectoriel des fonctions définie sur IR et à valeurs dans IR.
1- montrez que (cos,sin) est une famille libre de F.
2-soit S l'ensemble des solutions de l'équation differentielle: y''+y=o.
a- montrez que( S+,.) est un est un espace vectoriel réel.
b- montrez que (cos,sin) est une base de S.quelle est la dimension de S.
c-pour tout entier naturel k on definit les fonctions f_k(x)=cos(x+k) et g_k(x)=sin(x+k)
montrez que f_k et g_k sont des éléments de S..
d-en déduire que pour tout n>=3 on a (f_1,f_2 ,...,f_n)est liée ainsi que (g_1;g_2,...,g_n).
3-pour tout n de IN on definit les fonctions f_n(x)=e^(nx)
montrez que (f_1,f_2,...,f_n) est libre.
4-pour tout k élément de IN on definit les fonctions definies sur IR par
f_n(x)=|x-n|.
montrez que la famille (f_1,f_2,...,f_n) est libre.
bon courage
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