Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes

Soient z_1, z_2 ......z_n n nombres complexes , et soit e >0 , Prouvez qu'il existe une infinité de k tel que :

{mod(som( (z_i)^k)) } ^(1/k) >= max ( mod(z1),mod(z_2),...mod(z_n)) -e , i varie de 1 jusquà n

P.S: mod( x)= module de x

si je suppose que l'énoncé est de montrer qu'il existe une infinité de réels k tq l'inégalité soit vérifiée alors on commence par construire un k strictement postif
sans perte de généralité supposons que
si alors le problème est trivial sinon alors soit le réel tq avec
pour tout posons , Ainsi


quand k-> 0 alors il existe tq pour tt 0<k < alpha on a,

et d'aprés l'inégalité triangulaire il s'ensuit que

ce qui implique que

Ainsi il suffit de prendre k dans ]0, alpha[ comme voulu

BSR Abdek-M

qu'est ce que tu veux dire par : choisir epsilon tel que : ( r_n-e)^k = r_n^k -e ( pour une infinité de k ??!!) (epsilon est fixe ?)

en plus il me semble que l'inégalité r_n^k-e >= (r_n-e)^k est fausse pour k-->0 , alos si j'ai pas compris votre idée , explique moi stp merci

exuse moi j'ai oublié des truk, Voila une autre idée , je vais réecrire tout la solution j'éspère que j'ai pas commis d'erreur
on commencera par construire un k strictement postif,
sans perte de généralité supposons que
si alors le problème est trivial sinon alors soit un réel tel que et soit
pour tout posons , Ainsi


quand k-> 0 alors il existe tq pour tt 0<k < alpha on ait

et d'aprés l'inégalité triangulaire il s'ensuit que

ce qui implique que

On va distinguer deux cas si il exsite au moins distinct de n tel que alors au voisinnage de 0

dans ce cas la l'inégalité est vérifié
si pour tout on a alors soit un réel strictement positif tel que

quand k-> +00
et comme


alors en Procédant de manière similaire qu'avant on aurra pour tout k> A avec A un certain réel assez grand

Or

donc

et d'ou le resultat dans les deux cas il existe bien une infinité

Bjr Abdek-M

je crois que c'est bon maintenant