Problème janvier 2011

Calculer la somme

Par décomposition :
2/(2n-1)(2n)(2n+1) = 1/(2n-1)-1/n+1/(2n+1)

2S_p=sum(n=1 à p) 2/(2n-1)(2n)(2n+1)
=sum(n=1 à p) 1/(2n-1) - sum(n=1 à p) 1/n + sum(n=1 à p) 1/(2n+1)
=sum(n=0 à p-1) 1/(2n+1) - sum(n=1 à p) 1/n + sum(n=1 à p) 1/(2n+1)

=1+2 sum(n=1 à p-1) 1/(2n+1) - sum(n=1 à p) 1/n + 1/(2p+1)



On pose u_p=sum(n=1 à p) 1/n -ln(p). Alors
sum(n=1 à p-1) 1/(2n+1)
=sum(n=1 à 2p) 1/n - (1/2+1/4+...1/2p)
=sum(n=1 à 2p) 1/n - sum(n=1 à p) 1/2n =u_(2p)+ln(2p)-(u_p+ln(p))/2



et
2S_p
=1 + 2u_(2p) + 2ln(2p) - 2(u_p+ln(p)) + 1/(2p+1)
=2u_(2p) - 2u_p + 2ln(2p) - 2ln(p) + 1 + 1/(2p+1)
=2u_(2p) - 2u_p + 2ln(2) + 1 + 1/(2p+1)

On sait que (u_p) convege vers la constante d'Euler alors

Lim S_p=ln(2)+1/2