Solution postée par pm
Bonjour Abdelbaki Attioui
Une bonne année 2008 en espérant que vous continuerez à nous donner des exercices toujours aussi stimulants !
* A est un fermé
C'est assez classique : on écrit A comme intersection des adhérences de A_n = { u_p, p>= n }. A est donc fermé comme intersection de fermés.
* A est donc compact comme fermé d'un compact
* Si A n'est pas connexe. A = B U C, la réunion de deux fermés (donc compacts) disjoints.
* d = d(B,C) = min {d(x,y), x € B, y € C}.
On a d > 0.
f : BxC -> IR, f(x,y) = d(x,y).
f est continue (classique, elle est même 1-lipschitzienne) sur le compact BxC (le produit cartésien de deux compacts est compact : Tychonov), elle atteint donc son minimum. Comme B et C sont disjoints : d > 0.
* Soit N tel que d(u(n+1),u(n)) < d/4 pour n >= N
* -----B----|<...d...>|----C---
* Il y a une infinité de u(k) (k > N) tq d(u(k),B) < d/4 et une infinité tq d(u(k),C) < d/4. (**) car B et C contiennent des limites de suites extraites.
Mais il y en a aussi une infinité de u(k) tq d(u(k),B) > d/4 et d(u(k),C) > d/4.
En effet dans le cas contraire pour n > N' tous les u(k) se trouvent à une distance d/4 de B ou d/4 de C. (***)
Soit k tq n > N' et d(u(k), B) < d/4 et tq d(u(k+1), C) < d/4 : k existe forcément d'après (**) et (***). Mais alors d(u(k),u(k+1)) > d/4 : Contradiction.
* Il y a donc une infinité de u(k) tq d(u(k),B) > d/4 et d(u(k),C) > d/4. u(n), à valeur dans un compact, admet donc une valeur d'adhérence va tq d(va,B) >= d/4 et d(va,C) >= d/4. C'est impossible car va n'est ni dans B ni dans C.
Conclusion : A est connexe
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