Inégalité

Soient x, y et z des réels tel que x+y+z=1.
Montrer que:

[4(x+y+z)+3]/(V4x+1 +V4y+1 +V4z+1) =< v21
<=> 7=< V21 (V4x+1 +V4y+1 +V4z+1)

ce qui est absolument vrai si on élève au carré

!! J'ai rien pigé, peux-tu donner plus de détailles !

je pense que l'exo est faux car (x=-1 y=1 z=1) racine(-4+1) impossible

boubou math a écrit:

je pense que l'exo est faux car (x=-1 y=1 z=1) racine(-4+1) impossible

C ce que j'ai écrit fel wer9a dyal te7rire !!!

Il faut qu'il soit strictement positif , ensuite Jensen donne le résultat directement . Mais puisque je sais qu'aucun d'entre vous n'a étudié Jensen .
Levez au carré et utilisé le fait que a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac

TroOp duur persone ne c'es olympiad ?

futur-mathematicien a écrit:

TroOp duur persone ne c'es olympiad ?

??

ali-mes tu peut poster l'olympiade que tu as passé

cet exo + l'exo que math-lady a posté + 2 autres exos qui sont hyper-faciles !!

Wé! Cet exercice est trop diffcile!
Moi j'ai mis que X <=-1/4
et la même chose que Y et Z !
alors 4X+1<0
4Z+1<0+4
4Y+1<0
On met le carré et c'est tout! ^^

YASS1NE a écrit:

voilà ma solution : si on prend chaque élement à gauche et on le compare avec V7
puis on élève au carré ça donne ça :
V4x+1 =< V7 <=> 4x+1 =< 7 (1)
4y+1=< 7 (2)
4z+1 =< 7 (3)

en sommant on trouve que 4 ( x + y + z ) +1 =< 21
soit : 5 < 21 avec condition si et seulement si V4x+1 = V4y+1 = V4z+1

walahou a3lam.

peut etre ma comprehension est lente mais dsl j'ai pas compris!
tu peux expliquer ?!
merci d'avance
Et pour ceux qui disent qu'il ya une solution en levant au carre pouvez vous la preciser?
merci d'avance

Déja proposé par Yumi

yumi a écrit:

bonsoir
voilà ma solution:
on pose: a=sqrt(4x+1) et b=sqrt(4y+1) et c=sqrt(4z+1)
alors : a²=4x+1 et b²= 4y+1 et c=4z+1
et sommant on obtient: a²+b²+c²=7
et on a :(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=7+2(ab+ac+bc)
donc il suffit de prouver que: 7+2(ab+ac+bc) inf à 21
càd: ab+bc+ac inf à 7
d'où: ab+ac+bc inf à a²+b²+c²
ce qui simple à prouver en sommant les a²+b²sup à 2ab et a²+c² sup à 2ac et b²+c² sup à 2bc
j'attends une confirmation!

PS:sup à = supérieur ou égale à ; inf à=inférieur ou égale à

On considère: f(x)=sqrt(4x+1)
la fonction étant concave,on Jensenise:
D'où:
ce qui conclue la preuve.

On pose que: x est inférieur ou égale à -1/4, la même chose que y et z.
Alors on voit que : 4x+1<=0 et 4y+1<=0 et 4z+1<=0.
on met le carré et on additionne:
carré(4x+1)+carré(4y+1)+carré(4z+1)<=0 [1]
On sait que 0<21
Alors; 0<carré(21) [2]

De [1] et [2] on peut voir que:

]

Je suis désolé mais je suis tenté de dire que c'est du grand n'importe quoi!!!
Tu poses " x est inférieur ou égale à -1/4 " . Ce n'est pas possible puisque sinon 4x+1 serait negatif et la racine ne sera plus défini.
Donc il faut poser que x>=-1/4
En plus, tu dis que la somme des trois racines est inferieur ou égal à zéro!!!....
Sinon est-ce que quelqu'un peut enoncer l'inégalité de Jensen

Jensen repose sur la convexité que vous n'étudirez que l'année prochaine , si tu sais ce que c'est une fonction convexe et bein t'as plus qu'a chercher sur google l'inégalité de Jensen

OK!!!
Merci

Nayssi a écrit:

Je suis désolé mais je suis tenté de dire que c'est du grand n'importe quoi!!!
Tu poses " x est inférieur ou égale à -1/4 " . Ce n'est pas possible puisque sinon 4x+1 serait negatif et la racine ne sera plus défini.
Donc il faut poser que x>=-1/4
En plus, tu dis que la somme des trois racines est inferieur ou égal à zéro!!!....
Sinon est-ce que quelqu'un peut enoncer l'inégalité de Jensen

Les bonnes manières..

Wééé! C'est ce que j'ai cru!

Mais vous ne trouvez pas que c'est hyper diffficile pour des troncs communs?????

nous savons bien que x+1≥2√x
alors (x+1)/2≥√x
en remplacant x et en sommant on touvera que
√( 4x+1)+√(4y+1)+√(4z+1)≤√21
mais ce que je viens de faire es juste dans IR+