Equation fonctionnelle!!!

Trouver toutes les fonctions de IN vers IN telles que pour tout n et m de IN :
f(n+m)=f(n)*f(m)

Un peu plus dur ( j'ai pas trouvé )
Trouver toutes les fonctions de IR vers IR telles que pour tout x et y de IR :
f(x+y)=f(x)*f(y)

Comment ça, les équations fonctionnelles?????

Pour la première :
f(0)=f(n)*f(0) donc f(0)=1 ou sinon c'est la fonction nulle qui vérifie bien la condition :
maintenant remarquons que f(n+1)=f(n)*f(1) , on pose f(1)=a ( de IN*) et on fait une récurrence :
on a f(2) = a^2 ; supposons que f(n)=a^n et montrons qur f(n+1)=a^n+1 ceci étant évident la récurrence ce termine , réciproquement tout les fonction de la forme f(n)=a^n ( a de IN*) vérifient bien l'énoncé .

Pour le second ces fonction sont de la forme e^xln(c) si je ne m'abuse , mais ceci n'est pas du programme des troncs communs .
PS : c >0 cette fonction est la réciproque de la log à base a Donc pour le prouver utiliser cette information , ou bien passer vers Q dans la question précedente et puis utiliser la densitée de Q dans IR

Exactement Mr. Darkpseudo.
Cependant vous avez oublié la fonction f : x -> 1

Voici ma solution:
On raisonne dans IN

Soit g une fonction constante verifiant la condition tel que g(x) = c
g(n+m)=c et g(n)*g(m)=c²
Soit c²=c d'où c=1 OU c=0
Réciproquement les deux fonctions vérifient la condition.
Ainsi la fonction nulle et la fonction x -> 1 sont solutions de l'équation.

Soit une fonction f non constante vérifiant la condition.
Soit n et p de IN:
f(2n)=f(n)²
f(3n)=f(2n+n)=f(2n)*f(n)=f(n)²*f(n)=f(n)^3
...
f(np)=f(n)^p
Montrons ce résultat par récurrence.
Soit A(p) : f(np)=f(n)^p
Initialisation : A(0) est vraie (puisque f(0)=1 // simple calcul!)
Hérédité : Supposons A(p) vraie
f[(p+1)n]=f(pn+n)=f(pn)*f(n)=[f(n)^p]*f(n)=f(n)^[p+1]
A(p+1) est donc vraie.
Ce qui conclue la preuve de recurrence.
Ainsi : pour tout n de IN et p de IN
f(np)=f(n)^p
Prenons n=1
f(p)=f(1)^p
Posons : f(1) = a (de IN*) et soit q de IN.
f(q)=a^q
Réciproquement:
Soit la fonction f définie pour tout q de IN par :
f(q)=a^q
Soit r de IN.
f(q+r)=a^(q+r)=(a^q)*(a^r)=f(q)*f(r)
Donc la fonction puissance est solution de l'équation

Synthèse:
Les solutions de l'équation sont : la fonction nulle, la fonction n -> 1 et les fonctions puissance n -> a^n (n de IN*)

Désolé de vous contre-dire mais je n'ai rien oublié la fonction y=1 et un cas particulier quand on prend a = 1 ( remarque j'ai dis a appartient à IN* ) merci de bien lire les solution la prochaine fois .
Remarque aussi que dire que a appartient à IN est plus ou moins faux car 0^0 = 1 n'existe qu'a la limite .

J'avais pas fait attention!!