Integrales d'Euler

Débutant Nombre de messages : 2 Age : 32 Date d'inscription : 14/04/2011

Voila j'ai passé trop d temps pour essayer de résoudre cette exercice mais j'ai po réussi

j vous demande de l'aide si c'est possible mes frères
On pose I=l'integrale de 0 a pi/2 de ln(sin t ) dt
et J= l'integrale de 0 a pi/2 de ln(cos t ) dt
1/ Montrer que I et J sont bien definies et que I=J
2/ Calculer I+J en deduire les valeurs de I et J
Merci d'avance
ps : j'ai po trouver les singes de math !!!

Débutant Nombre de messages : 5 Age : 31 Date d'inscription : 14/04/2011

Bonne soirée.
Pour la question (1) Il suffit de montrer que I est convergente.
Pour commencer:
- On sait que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est 1 .
- ln(sin(x)) = [ ln(sin(x)) -ln(x) ] + ln(x) = ln(sin(x)/x) + ln(x) , d'où ln(sin(x)/ln(x) =( lack]sin(x)/x)] /ln(x) )+1
tend vers 1 au voisinage de zéro+ .

Notons: g(x)= ln(x) * .
l'intégrale (de 0 à pi/2) de g est convergente.
Et on sait que, la fonction logarithme est négative au voisinage de zéro.
(En posant* : x= sin(x) )
Donc, par équivalence, I est convergente aussi.

Pour montrer que I=J , on applique un changement de variable ( Comme celui de l'intégrale de Gauss/Wallis )
Posons x= pi/2 -t .. Ce changement vérifie une classe de régularité . Donc, on peut déduire directement que J est aussi convergente et que J=I.

2) Calcul de I+J:
On applique la relation de Chasles.

$Integrales d'Euler Gif$
= $Integrales d'Euler Gif$
= $Integrales d'Euler Gif$ ( Rappel : sin(x).cos(x) = sin(2x)/x)

= $Integrales d'Euler Gif$ .. On applique la linéarité une autre fois.
= $Integrales d'Euler Gif$
Et On applique de nouveau, un changement de variable t=2x.
Après un simple calcul, on déduit que I=J= $Integrales d'Euler Gif$ .

Débutant Nombre de messages : 2 Age : 32 Date d'inscription : 14/04/2011

Pour montrer que I=J , on applique un changement de variable ( Comme celui de l'intégrale de Gauss/Wallis )
j'ai po compris cela

Débutant Nombre de messages : 5 Age : 31 Date d'inscription : 14/04/2011

Veuillez lire la ligne qui suit.

bonsoir

je voudrais savoir d'où vous avez apporté tous ces noms de relations (relation de Chasles.'intégrale de Gauss/Wallis,...) vous n'etes qu en terminale ,je suppose...
et cette forme de résonnement n'est pas celle d'un eleve de bac, parce que moi meme je ne connais pas ces relations ^^
et merci

tu es alors bien désavantagé car relation de Chasles c'est carrément du cours et l'intégral de Wallis est un classique que tu trouveras dans les problèmes du livre scolaire Al-moufid, si je me rappelle bien du livre.
Pour l'intégral de Gauss, oui elle est rare dans le parcours d'un bachelier , si on parle du coté de l'existence de l’intégral ou de l'intégrabilité d'une fonction.

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