| | Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] |  |
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+9Misterayyoub Dijkschneier tahasinbad Bensouda Mehdi.O yasserito isma.lem nmo louis 13 participants |
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| Combien d'exercices aviez-vous résolu durant cette épreuve? | | 1 | | 6% | [ 1 ] | | 2 | | 56% | [ 9 ] | | 3 | | 31% | [ 5 ] | | 4 | | 6% | [ 1 ] |
| | Total des votes : 16 | | | |
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| Auteur | Message |
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kaj mima
Expert grade1
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Age : 30
Localisation : Tétouan
Date d'inscription : 05/03/2011
| | Sujet: Re: Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] Dim 08 Mai 2011, 10:17 | |
| Bonjour les amis, quelles sont toutes les solutions que vous avez trouvées pour le premier exercice? | |
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M.Marjani
Expert sup
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Date d'inscription : 05/03/2010
| | Sujet: Re: Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] Dim 08 Mai 2011, 21:21 | |
| - kaj mima a écrit:
- Bonjour les amis, quelles sont toutes les solutions que vous avez trouvées pour le premier exercice?
2 triplets, qui sont les solutions du systéme 4z + 1 = 3y , y + z + yz = 11 qui implique (z+1)² = 9 Et pour le quatriéme exercise, je l'ai résolu avec une methode analytique, je vous fait part de ma solution : Solution au probléme 4 :Soit ABCD un quadrilatére convexe vérifiant AB = BC + AD et (AM) et (BM) perpendiculaires tel que M le milieu de [CD] . D'une part, on a ![Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] - Page 2 Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\small AB^2 = (BC+AD)^2 = AM^2 + BM^2 = (\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM})^2+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CM})^2) ![Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] - Page 2 Gif.latex?\small \Leftrightarrow BC^2+AD^2+2BC*AD=AD^2+MD^2+2\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DM}+BC^2+CM^2+2\overrightarrow{BC}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\small \Leftrightarrow BC^2+AD^2+2BC*AD=AD^2+MD^2+2\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DM}+BC^2+CM^2+2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CM}) ![Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] - Page 2 Gif.latex?\small \small \Leftrightarrow BC*AD=CM^2+\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CM}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\small \small \Leftrightarrow BC*AD=CM^2+\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{BC}) (1)Et d'autre part, on a ![Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] - Page 2 Gif.latex?\small \overrightarrow{BM}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\small \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AM}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM})(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM})=0) ![Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] - Page 2 Gif.latex?\small \Leftrightarrow \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\small \Leftrightarrow \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=CM^2) (2)Remplaçant (1) dans (2) pour avoir ![Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] - Page 2 Gif.latex?\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=BC](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=BC.AD) donc ![Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] - Page 2 Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\cos (\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD}})=1) D'ou le résultat  | |
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Mehdi.O
Expert sup
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Date d'inscription : 23/07/2010
| | Sujet: Re: Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] Dim 08 Mai 2011, 21:32 | |
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Bensouda
Féru
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Date d'inscription : 28/02/2011
| | Sujet: Re: Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] Dim 08 Mai 2011, 23:01 | |
| Solution du 4eme exercice :
Soit N et P les milieux de [AB] et [BD] , on a MN=1/2AB puisque AMB est un rectangle
MN=1/2AB ==> MN=1/2AD+1/2BC ==> MN=PN+PM ==> les points sont colinéaires
==> (BC) et (AD) sont parallèles . | |
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Bensouda
Féru
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Date d'inscription : 28/02/2011
| | Sujet: Re: Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] Dim 08 Mai 2011, 23:05 | |
| Pour le 3 :
on (x-1)(y-1)>0 ==> xy+1>x+y ==> x/2+xy+yz<x/x+y+z+y et puisque xyz<y
x/x+y+z+y < x/x+y+z+xyz . En sommant on obtient le résultat voulu . | |
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isma.lem
Habitué
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Date d'inscription : 02/03/2011
| | Sujet: Re: Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] Dim 08 Mai 2011, 23:15 | |
| Tout ça est dispo depuis le site mathlinks. | |
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M.Marjani
Expert sup
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| | Sujet: Re: Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] Lun 09 Mai 2011, 00:44 | |
| - Bensouda a écrit:
- Solution du 4eme exercice :
Soit N et P les milieux de [AB] et [BD] , on a MN=1/2AB puisque AMB est un rectangle
MN=1/2AB ==> MN=1/2AD+1/2BC ==> MN=PN+PM ==> les points sont colinéaires
==> (BC) et (AD) sont parallèles . Oui, Merci ! Elle est disponible dans ce lien : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=405431&p=2262625#p2262625 Et le troisiéme ici : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=405430&p=2262622#p2262622 La solution du deuxiéme est également ici : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=405429&p=2262621#p2262621 | |
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| | Sujet: Re: Sixième Olympiade de Première [06 Mai 2011] | |
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