Remarquons d'abord que la double inégalité de l'énoncé implique cos(x)=<V2/2 et comme on travaille sur [0;2PI] on a obligatoirement x sur [PI/4;7PI/4] et donc l'ensemble de solution cherché un sous-ensemble de [PI/4;7PI/4] , en fait on va démontrer que c'est tout [PI/4;7PI/4].
Pour faciliter la lecture de ce qui suit , j'te conseille de dessiner un cercle trigonométrique gradué avec tout les multiples de pi/4 inférieurs à 2pi et en faisant apparaître évidemment les abscisses +-V2/2
Posons y = |V(1+sin(x))-V(1-sin(2x))|
y²=1+2sin(2x)-2V(1-sin²(2x))+1-2sin(2x)=2(1-Vcos²(2x))
et comme Vu² = |u| ( et non u,sauf si u>=0) et cos(2x)=cos(x+x)=...
y²=2(1-|cos(2x)|)=2(1-|2cos²(x)-1|)
On remarque que l'expression située dans la valeur absolue est la moitié de la différence des carrés des termes extrêmes de la double inégalité de l'énoncé : pour cette raison on va envisager deux cas, selon que cos(x) est positif ou négatif.
cas 1 : cos(x)>=0 <=> x appartient à [0;pi/2]U[3PI/2;2PI]
puisque l'inégalité demandée entraîne 2cos(x)=<V2 soit (rappel : la fonction x->x² conserve l'ordre sur IR+ et le change sur IR-)
cos²(x)=<1/2 <=> 2cos²(x)-1=<0 , on a y² = 2 (1-(1-2cos²(x)) = 4cos²(x); y étant positif ou nul on en déduit y = 2cos(x) et la double inégalité à résoudre , dans ce cas 1 , est donc 2cos(x)=<2cos(x)=<V2 elle se réduit à la seule inégalité : cos(x)=<V2/2 , et donc l'ensemble solution dans ce cas 1 est S1=[PI/4;PI/2]U[3PI/2;7PI/4]
cas2:cos(x)<0 <=> x appartient à ]PI/2;3PI/2[
Là,le fait que 2cos(x)=<V2 ne permet pas d'en déduire obligatoirement cos²x=<1/2 (puisque cos(x) et V2/2 sont de signes contraires),d'où deux sous-cas,selon que cos²(x)=<1/2 ou que cos²(x)>1/2
cas2.1:cos²(x)=<1/2 : En passant à la racine carrée, c'est équivalent à |cos(x)|=<V2/2;et comme pour k>=0 ; |u|=<k <=> u appartient à [-k;k] , ce cas est équivalent à dire cos (x)
appartient à [-V2/2;V2/2] et cos (x) < 0 <=>cos(x) appartient à [-V2/2;0[ <=> x appartient à ]pi/2;3pi/4]U[5pi/4;3pi/2[
Comme dans le cas 1 on a encore y²=4cos²(x),mais cette fois y=-2cos(x) et la double inégalité à résoudre devient 2cos(x)=<-2cos(x)=<V2 : la 1ière inégalité est toujours vraie (un négatif ou nul est inférieur ou égal à un positif ou nul) et donc il ne reste que l'inégalité
cos(x)>=-V2/2 qui est toujours vraie dans ce cas 2.1 . L'ensemble solution dans le cas 2.1 est donc S2.1=]PI/2;3PI/4]U[5pi/4;3PI/2[
cas 2.2 : cos²(x)>1/2
En passant à la racine carrée, c'est équivalent à |cos(x)|>V2/2 <=> x appartient à cos(x)<-V2/2 ou cos (x)>V2/2
(rappel : k étant positif on a |u|>k <=> u appartient à ]-oo;-k[U]k;+oo[ ; c'est vrai si k=<0
mais la formule n'a pas vraiment d'intérêt car l'union des deux intervalles se réduit alors à IR* si k = 0 et à IR si k<0)
Mais cos(x)<0 ( on est dans le cas 2) et donc il ne reste que cos(x)<-V2/2 et le cas 2.2 équivaut à x appartient à ]3PI/4;5PI/4[ ( puisque dans le cas 2 on a x dans ]PI/2;3PI/2[ )
De cos²(x)>1/2 on tire 2cos²(x)-1>0 et y²=2(1-(2cos²(x)-1) = 4 (1-cos²(x)) = 4sin²(x)
soit y = 2|sin(x)| La double inégalité à résoudre est donc 2 cos(x)=<2|sin(x)|=<V2;la première inégalité est toujours vraie car cos(x)<0 et la 2ème equivaut , après élevation au carré , à cos²(x)>=1/2 , inégalité qui est encore toujours vérifiée dans ce cas 2.2.
l'ensemble de solution dans ce cas 2.2 est donc S2.2=]3PI/4;5PI/4[
Finalement l'ensemble solution demandé est S = S1US2.1US2.2=[PI/4;7PI/4]
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