arithmétique

trouvez le minimum de |36^m-5^n| ,avec m et n de IN*²

personne ... ??

J'ai pas pu résoudre cet exo, en plus, je crois que c'est pas de l'arithmétique, cela a une relation avec majorant et minorant + inégalités... n'est-ce-pas ?

je vous garantie que c'est po difficile

Le minimum est 9, il est atteint pour m=1 et n=2. Maintenant, pour compléter la réponse il faut prouver que l'équation |36^m-5^n|=k n'admet pas de solutions si k £ {1,2,...,8}

Spoiler:

je poste une réponse:
premièrement on remarque que le nombre d'unité de |36^m-5^n| est 1 donc |36^m-5^n| est congru 1 modulo 10
on effet pour m=1 et n=2 |36^m-5^n|=11
donc le minimum est 11 si et seulement si l’équation |36^m-5^n|=1 n'admet po de solution
prouvons cela
|36^m-5^n|=1 implique 2 cas
premier : 36^m-5^n=1
5^n=36^m-1=(6^m+1)(6^m-1)
6^m+1>1 et 6^m+1 est congru 2 modulo 5 donc 6^m+1 est divisible par un autre entier autre que 5 absurde
deuxième: 36^m-5^n=-1
36^m+1=5^n hors 36^m+1 est congru 2 modulo 5 ce qui n'est po le cas pour 5^n absurde
ce qui finit la démonstration (sauf erreur)

ali-mes a écrit:

Le minimum est 9, il est atteint pour m=1 et n=2. Maintenant, pour compléter la réponse il faut prouver que l'équation |36^m-5^n|=k n'admet pas de solutions si k £ {1,2,...,8}

Tu veux dire un 11 : 36^1 - 5² = 11

boubou math a écrit:

je poste une réponse:
premièrement on remarque que le nombre d'unité de |36^m-5^n| est 1 donc |36^m-5^n| est congru 1 modulo 10
on effet pour m=1 et n=2 |36^m-5^n|=11
donc le minimum est 11 si et seulement si l’équation |36^m-5^n|=1 n'admet po de solution
prouvons cela
|36^m-5^n|=1 implique 2 cas
premier : 36^m-5^n=1
5^n=36^m-1=(6^m+1)(6^m-1)
6^m+1>1 et 6^m+1 est congru 2 modulo 5 donc 6^m+1 est divisible par un autre entier autre que 5 absurde
deuxième: 36^m-5^n=-1
36^m+1=5^n hors 36^m+1 est congru 2 modulo 5 ce qui n'est po le cas pour 5^n absurde
ce qui finit la démonstration (sauf erreur)

Bien, mes connaissances arithmétiques sont très limités (surtout en ce qui concerne le programme 1ére Sm +TSM), ce qui me pose cette question : est-ce-que vous avez déjà lu le programme tout seul ? En lisant votre preuve, je me suis bloqué sur ce qui est en gras, pourriez vous montrer que 36^m-5^n est congru à 1 modulo 10 ?

le nombre d'unité de 36^m et toujours 6 et de 5^n et toujours 5 alors le nombre d'unité de |36^m-5^n| est 1

expert_run a écrit:

le nombre d'unité de 36^m et toujours 6 et de 5^n et toujours 5 alors le nombre d'unité de |36^m-5^n| est 1

OK, c'est compris.

5^n≡ 5 [10] on peut démontrer cela par la récurrence, il suffit donc de montrer que 5^(n+1)≡ 5 [10]
on a 5^(n+1)= 5^n .5 et 5^n≡ 5 [10] donc 5^(n+1)≡ 25 [10]≡ 5[10]
On fait de même pour 36, et donc on a:
5^n≡ 5 [10]et 36^m≡ 6 [10] on fait la soustraction :

36^m-5^n ≡ 1[10]
Et voilà