Pour n=0, on a : 0^{2}((0+1)!)=0 et (0+1)!(0-1)(0+2)=0.
Soit n de N. On suppose : 1^{2}(2!)+2^{2}(3!)+...+n^{2}((n+1)!)=(n+1)!(n-1)(n+2)+2 juste.
Donc : 1^{2}(2!)+2^{2}(3!)+...+n^{2}((n+1)!)+(n+1)^{2}((n+2)!)=(n+1)!(n-1)(n+2)+2+(n+1)^{2}((n+2)!)=((n+2)!)(n-1)+2+(n+1)^{2}((n+2)!)=((n+2)!)(n-1+(n+1)^{2})+2=((n+2)!)(n-1+n{2}+2n+1)+2=((n+2)!)(n^{2}^+3n)+2=((n+2)!)n(n+3)+2. Fin de la récurrence.