| | TDM - Test 1 - Problème 1. |  |
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+8Othmaann Mehdi.O boubou math nmo ali-mes Calculus Nayssi MohE 12 participants |
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MohE
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| | Sujet: TDM - Test 1 - Problème 1. Mer 29 Juin 2011, 20:20 | |
| Problème. Déterminer toutes les fonctions  tels que pour tous réels x et y on a:  Source: Ce problème est directement copié d'un ancien olympiade de première. | |
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Nayssi
Maître
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| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Mer 29 Juin 2011, 20:24 | |
| Celui-là était facile. J'ai trouvé f : x -> -x+(1/2) | |
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Calculus
Féru
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| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Mer 29 Juin 2011, 20:29 | |
| Idem. C'est le seul que j'ai fait. | |
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ali-mes
Expert sup
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| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Mer 29 Juin 2011, 20:31 | |
| J'ai pas pu participer avec vous, mais en tous cas, je vous propose ma réponse pour cet exo: Ma réponse pour le premier exercice:- Spoiler:
On cherche toutes les fonctions définies sur R et qui vérifient l'équation fonctionnelle:
f(x-f(y))=1-x-y
Soit P(x,y) l'assertion f(x-f(y))=1-x-y
Et soit c un réel vérifiant f(c)=0.
P(x+f(y),y) ==> f(x)=1-x-f(y)-y ==> f(x)+f(y)=1-x-y
Donc l'équation fonctionnelle proposée est équivalente à: f(x)+f(y)=1-x-y
Soit T(x,y) l'assertion f(x)+f(y)=1-x-y
T(c,c) ==> 2f(c)=1-2c ==> c=1/2
T(x,1/2) ==> f(x)=1-x-1/2 ==> f(x)=-x+1/2
Par conséquent, f(x)=-x+1/2 pour tous réel x.
Inversement, la fonction f : x |->-x+1/2 vérifie l'équation fonctionnelle.
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nmo
Expert sup
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| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Mer 29 Juin 2011, 20:37 | |
| Je vous propose la solution suivante: - Dijkschneier a écrit:
- Solution au problème 74 :
Soit f une fonction vérifiant l'EF.
Soit P(x,y) l'assertion : f(x-f(y))=1-x-y.
P(x+f(0),0) ==> f(x)=1-(x+f(0)-0=1-x-f(0)
Ainsi, f est de la forme : f(x)=1-x+c
Inversement, si f(x)=1-x+c, alors l'EF devient : 1-(x-f(y))+c = 1-x-y
<=> 1-x+f(y)+c=1-x-y
<=> f(y)+c = -y
<=> f(y) = -y - c
<=> 1-y+c = -y-c
<=> 2c=-1
<=> c=-1/2
Par suite : f(x)=1/2 - x
Synthèse :
La seule solution à l'EF est la fonction : x -> 1/2 -x Au plaisir. | |
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nmo
Expert sup
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| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Mer 29 Juin 2011, 20:40 | |
| - ali-mes a écrit:
- J'ai pas pu participer avec vous, mais en tous cas, je vous propose ma réponse pour cet exo:
Ma réponse pour le premier exercice:
- Spoiler:
On cherche toutes les fonctions définies sur R et qui vérifient l'équation fonctionnelle:
f(x-f(y))=1-x-y
Soit P(x,y) l'assertion f(x-f(y))=1-x-y
Et soit c un réel vérifiant f(c)=0.
P(x+f(y),y) ==> f(x)=1-x-f(y)-y ==> f(x)+f(y)=1-x-y
Donc l'équation fonctionnelle proposée est équivalente à: f(x)+f(y)=1-x-y
Soit T(x,y) l'assertion f(x)+f(y)=1-x-y
T(c,c) ==> 2f(c)=1-2c ==> c=1/2
T(x,1/2) ==> f(x)=1-x-1/2 ==> f(x)=-x+1/2
Par conséquent, f(x)=-x+1/2 pour tous réel x.
Inversement, la fonction f : x |->-x+1/2 vérifie l'équation fonctionnelle.
Qui te garantie l'existence d'un tel c? Tu dois tout d'abord démontrer que 0 admat un antécédant par f. | |
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boubou math
Expert sup
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| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Mer 29 Juin 2011, 20:42 | |
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Mehdi.O
Expert sup
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| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Mer 29 Juin 2011, 20:44 | |
| Mais peut-être pas surjective  | |
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Othmaann
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| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Mer 29 Juin 2011, 20:47 | |
| Problème assez facile, accessible à tous. | |
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steve 94
Féru
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| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Mer 29 Juin 2011, 20:55 | |
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Calculus
Féru
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| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Mer 29 Juin 2011, 20:57 | |
| Ma solution :
http://www.pixenli.com/image1309377372064703000.html | |
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Nayssi
Maître
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| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Mer 29 Juin 2011, 21:00 | |
| Ma solution : ;y):%20f(f(y)-f(y))=1-f(y)-y%20\\%20\%20Soit%20\%20f(0)=1-f(y)-y%20\\%20Soit%20\%20f(y)=-y+(1-k)%20\%20avec%20\%20k=f(0)\in%20\mathbb{R}%20\\%20Donc%20\%20f%20\%20est%20\%20de%20\%20la%20\%20forme%20\%20f(x)=-x+(1-k)%20\%20pour%20\%20tout%20\%20x%20\%20de%20\%20\mathbb{R}%20\%20avec%20\%20k\in%20\mathbb{R}%20\\%20\\%20Reciproquement,%20verifions%20\%20pour%20\%20quelles%20\%20valeurs%20\%20de%20\%20k,%20\%20f%20\%20verifie%20\%20les%20\%20conditions%20\%20de%20\%20l'%C3%A9nonc%C3%A9%20\\%20f(x-f(y))=%201-x-y%20\Leftrightarrow%20-(x-f(y))+1-k=1-x-y%20\\%20\Leftrightarrow%20-(x-(-y+1-k))+1-k=1-x-y%20\\%20Apres%20\%20simplification%20\%20on%20\%20obtient%20\%20k=\frac{1}{2}%20\\%20\\%20Synth%C3%A8se%20:%20\\%20f%20:%20x%20\mapsto%20-x+\frac{1}{2}%20\%20est%20\%20la%20\%20seule%20\%20fonction%20\%20verifiant%20\%20les%20\%20conditions%20\%20de%20\%20l'%C3%A9nonc%C3%A9) | |
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M.Marjani
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| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Jeu 30 Juin 2011, 00:27 | |
| - Mehdi.O a écrit:
- Mais peut-être pas surjective
La fonction est bien bijective, la chose qui assure l'unicité :p P(-y, y) : f(-y-f(y))=1 et P(x, x) : f(x-f(x)) = 1-2x L'injection: f(x)=f(y) <=> x-f(y) = x-f(x) => f(x-f(y)) = f(x-f(x)) = 1-x-y = 1-2x => x=y La surjection: f(y) = x => y = 1-x-f(0) Ainsi, le probléme est à la porté. | |
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Mehdi.O
Expert sup
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Date d'inscription : 23/07/2010
| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Jeu 30 Juin 2011, 00:29 | |
| - M.Marjani a écrit:
- Mehdi.O a écrit:
- Mais peut-être pas surjective
La fonction est bien bijective, la chose qui assure l'unicité :p
P(-y, y) : f(-y-f(y))=1 et P(x, x) : f(x-f(x)) = 1-2x
L'injection: f(x)=f(y) <=> x-f(y) = x-f(x) => f(x-f(y)) = f(x-f(x)) = 1-x-y = 1-2x => x=y
La surjection: f(y) = x => y = 1-x-f(0)
Ainsi, le probléme est à la porté. Oui elle est bijective dans ce cas. Mais si ce n'était pas le cas, on ne peut pas conclure du fait que la fonction de IR => IR que 0 admet un antécédant par f | |
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yasserito
Expert sup
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Date d'inscription : 11/07/2009
| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Jeu 30 Juin 2011, 12:24 | |
| Solution au probleme 1:
on a p(f(0),0): f(0)=1/2
et p(x+1/2,0):f(x)=1/2-x
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alpha601
Débutant
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Date d'inscription : 27/06/2011
| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. Ven 01 Juil 2011, 11:58 | |
| f(x-f(y))=1-x-y
pour y=0 on aura f(x-f(0))=1-x
posant X=x-f(0) donc x=X+f(0)
f(X)=1-X-f(0)
alors il ne suffit que déterminer la valeur de f(0)
selon la fonction obtenue :f(0)=1-f(0) donc f(0)=1/2
f(x)=-x+1/2 | |
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| | Sujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1. | |
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| | TDM - Test 1 - Problème 1. | |
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