Valeur maximal(ou maximum) de K !

bonjour tout le monde, je suis un nouveau membre, bref voici mon probleme,

Trouver la valeur maximum(plus grande) de K nombre reel verifiant :
pour chaque a et b et c reels strictement positifs, si a + b + c =< K alors abc =< K .


merci d'avance .

On suppose que m=max(a,b,c)

On a donc a+b+c =< 3m et abc =< m^3
Pour que : a+b+c =< 3m ====> abc =< m^3
il faut que m^3 =< 3m =< k donc m =< sqrt(3)

ce qui donne max(k)=3m=3sqrt(3)=sqrt(27)

Plus compliqué :

Pour maximiser k : on considère l'égalité a+b+c=abc qui donne si ab-1 /= 0 : c=(a+b)/(ab-1)

La relation abc <= k amène à maximiser k=|ab(a+b)/(ab-1)| (on choisit le sup)

On trouve qu'il est atteint pour a=b=-sqrt(3) et vaut k=|-6sqrt(3)/2|=3sqrt(3)

De plus, on a bien ab-1=sqrt(3)*sqrt(3)-1 \= 0

Sauf erreur

"On trouve qu'il est atteint pour a=b=-sqrt(3) et vaut k=|-6sqrt(3)/2|=3sqrt(3)"

Comment svp ?

Salut Siba !

Il faut utiliser du calcul différentiel : tu calcules les dérivées partielles de f(a,b)=ab(a+b)/(ab-1) suivant a et suivant b et tu cherches pour quelles valeurs de a et b les dérivées partielles s'annulent.
Ensuite, on a des conditions permettant de savoir quel(s) couple(s) donne(nt) un maximum à f.

Mais ça reste "très compliqué" pour résoudre cet exercice !

A+

Ok, merci en tous cas !

slt tout le monde
je veux savoir est ce qu 'ils ont donné les resutats des olympiades de 2 decembre 2011

de 1 ere année bac


et MERCI D'AVANCE

Heu, je ne crois pas.
Par contre, ils vont choisir en fonction des 2 premieres epreuves je pense !

moi j'ai utilisé l'inegalité de la moyenne :

on a A+B+C =< K ET ABC=<K

selon l'inegalité on a : a+b+c >= 3 (abc) ^ 1/3

donc ( a+b+c) / 3 >= ( abc) ^1/3

donc ( ( a+b+c) /3 ) ^3 ) >= abc

==> ( k/3 )^3 >= abc

==> K max= ( k/3 )^3 = kmax= k^3 / 27

kmax= rac 27