Ahlane
Pour l'exercice 1 :
1-a-démonstration par récurrence immédiate
b- U_(n+1) - U_n = 1/U_n -1 = (1-U_n)/U_n =< 0 par -a Donc U_n est décroissante
2- a- U_(n+1)-1 >= 0 par a
Ensuite : U_(n+1)-1=(U_n² -2U_n +1)/U_n = (U_n-1)²/U_n que l'on veut comparer à 1/2 (U_n-1) on fait donc la différence :
1/2 (U_n-1) - (U_n-1)²/U_n = (U_n-1)(U_n-2(U_n-1))/2U_n = (U_n-1)(U_n-2(U_n-1))/2U_n = (U_n-1)(2-U_n)/2U_n >= 0
d'où l'inégalité souhaitée.
b- Pour une rédaction propre fais une récurrence et utilise la question précédente.
3-a - comme pour tout n U_n =< 2 on a : U_1+U_2+...+U_n =< 2n donc V_n =< 2
Puis, par décroissance de (U_n) : on a : U_1 >=U_n , U_2>=U_n, ...., U_n >= U_n donc en sommant ces inégalités on obtient :
U_1+U_2+...+U_n >= n U_n donc V_n >= U_n
b- on calcule : (n+1) (V_(n+1)-V_n) = (n+1) V_(n+1) - (n+1) V_n = (n+1) V_(n+1) -n V_n-V_n= U_1+U_2+...+U_n+U_(n+1)) - (U_1+U_2+...+U_n) - V_n = U_(n+1) - V_n
d'où l'égalité voulue.
or par décroissance de U_n et par 3.a U_(n+1) =< U_n =< V_n donc U_(n+1)-V_n =< 0 et (V_n) est décroissante.
c- V_n-1= (U_1+U_2+...+U_n - n)/n on écrit n = 1+1+...+1 n fois
donc V_n-1= (U_1-1 +U_2-1+...+U_n-1)/n cqfd
pour obtenir l'inégalité demandée on utilise la 2-b et on utilise la formule donnant la somme de (1/2)^n (majmou3 moutatalia handassia)
4- Par définition : U_(k+1) -U_k = 1/U_k -1
que l'on somme pour k allant de 1 jusqu'à n-1
on obtient alors U_n -U_1 = W_n - (n-1)
d'où W_n = U_n + n -3
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