| Inégalité | |
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+4Ahmed Taha (bis) aymas Nayssi ali-mes 8 participants |
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Auteur | Message |
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ali-mes Expert sup
Nombre de messages : 986 Age : 28 Localisation : Tétouan Date d'inscription : 01/10/2010
| Sujet: Inégalité Lun 06 Fév 2012, 20:32 | |
| Soient a, b et c des réels strictement positifs, montrer que: | |
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Nayssi Maître
Nombre de messages : 235 Age : 28 Date d'inscription : 26/12/2010
| Sujet: Re: Inégalité Lun 06 Fév 2012, 20:54 | |
| Salut, Un coup de Chebychev + Nesbitt donne le resultat! Je posterai ma réponse quand j'aurai le temps! | |
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aymas Maître
Nombre de messages : 168 Age : 28 Localisation : tanger Date d'inscription : 07/02/2012
| Sujet: Re: Inégalité Mar 07 Fév 2012, 20:48 | |
| oui c'est évidement clair en utilisant l'inegalite de Chebyshev obtenue par une réoredonement puisque a et b et c jouent un role symetrique ce qui conduit a supposer que l'un d'eux est le plus grand et un autre est le plus petit.puis on conclut le résultat. | |
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ali-mes Expert sup
Nombre de messages : 986 Age : 28 Localisation : Tétouan Date d'inscription : 01/10/2010
| Sujet: Re: Inégalité Mar 07 Fév 2012, 22:23 | |
| J'aimerais bien voir une solution complète si c'est possible ! | |
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aymas Maître
Nombre de messages : 168 Age : 28 Localisation : tanger Date d'inscription : 07/02/2012
| Sujet: Re: Inégalité Mar 07 Fév 2012, 23:39 | |
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aymas Maître
Nombre de messages : 168 Age : 28 Localisation : tanger Date d'inscription : 07/02/2012
| Sujet: Re: Inégalité Mar 07 Fév 2012, 23:40 | |
| mais je ne maitrise pas utiliser le latex | |
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aymas Maître
Nombre de messages : 168 Age : 28 Localisation : tanger Date d'inscription : 07/02/2012
| Sujet: Re: Inégalité Mar 07 Fév 2012, 23:53 | |
| par symétrie on suppose que a est supérieur de b supérieur de c. alors a²+b² supérieur de a²+c² supérieur de b²+c² ainsi 1/(b+c) est supérieur de 1/(a+c) supérieur de 1/(b+a) par reordonnement on a (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c) est inferieur de (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(b+c)+(b²+c²)/(a+b) alors il suffit de prouver que S= (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(b+c)+(b²+c²)/(a+b) est inferieur de 3(a²+b²+c²)/(a+b+c) ce qui est vrai puisque on a d'après l'inégalité de Chebyshev 1/3 S multiplier par ((a+b)+(a+c)+(b+c))est inférieur de 2(a²+b²+c²) ce qui laisse a conclure le résultat
Dernière édition par aymas le Mer 08 Fév 2012, 12:00, édité 1 fois | |
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Ahmed Taha (bis) Expert grade2
Nombre de messages : 353 Age : 29 Localisation : kénitra Date d'inscription : 06/12/2010
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Mehdi.O Expert sup
Nombre de messages : 815 Age : 29 Localisation : Rabat Date d'inscription : 23/07/2010
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 01:05 | |
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Ahmed Taha (bis) Expert grade2
Nombre de messages : 353 Age : 29 Localisation : kénitra Date d'inscription : 06/12/2010
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 01:09 | |
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Ahmed Taha (bis) Expert grade2
Nombre de messages : 353 Age : 29 Localisation : kénitra Date d'inscription : 06/12/2010
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 01:21 | |
| - aymas a écrit:
- par symétrie on suppose que a est supérieur de b supérieur de c.
alors a²+b² supérieur de a²+c² supérieur de b²+c² ainsi 1/(b+c) est supérieur de 1/(a+c) supérieur de 1/(b+a) par reordonnement on a (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c) est inferieur de (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(b+c)+(b²+c²)/(a+b) alors il suffit de prouver que S= (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(b+c)+(b²+c²)/(a+b) est inferieur de 3(a²+b²+c²)/(a+b+c) ce qui est vrai puisque on a d'après l'inégalité de Chebyshev 1/3 S multiplier par ((a+b)+(a+c)+(b+c))est inférieur de 2(a²+b²+c²) ce qui laisse a conclure le résultat je pense que votre solution est fausse voila : P.S pour écrire en latex voici le lien : | |
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Ahmed Taha (bis) Expert grade2
Nombre de messages : 353 Age : 29 Localisation : kénitra Date d'inscription : 06/12/2010
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 03:10 | |
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boubou math Expert sup
Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 11:22 | |
| - abdelkrim-amine a écrit:
On ne peux appliquer les transformation de Ravi sauf si a,b,c sont des cotés d'un triangle . | |
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aymas Maître
Nombre de messages : 168 Age : 28 Localisation : tanger Date d'inscription : 07/02/2012
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 11:59 | |
| ah c'est vrai j'ai pas fais attention mais je pense que la mienne est juste et il existe une faute de frappe comise par ali car l'inégalité n'est pas verifier pour a=1 ;b=2 ;c=3 et on trouve que le membre gauche de l'inégalité est supérieur de membre droit | |
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aymas Maître
Nombre de messages : 168 Age : 28 Localisation : tanger Date d'inscription : 07/02/2012
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 12:03 | |
| l'inégalité doit être inversée | |
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aymas Maître
Nombre de messages : 168 Age : 28 Localisation : tanger Date d'inscription : 07/02/2012
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 12:17 | |
| si c'est possible je vais proposer un exo | |
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ali-mes Expert sup
Nombre de messages : 986 Age : 28 Localisation : Tétouan Date d'inscription : 01/10/2010
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 14:11 | |
| - aymas a écrit:
- ah c'est vrai j'ai pas fais attention mais je pense que la mienne est juste et il existe une faute de frappe comise par ali car l'inégalité n'est pas verifier pour a=1 ;b=2 ;c=3 et on trouve que le membre gauche de l'inégalité est supérieur de membre droit
- aymas a écrit:
- l'inégalité doit être inversée
Ne dis pas n'importe quoi ! Pour a=1, b=2 et c=3, on trouve: LHS=6.76.. et RHS=7 ! Jusqu'à présent, personne n'a donné une preuve correcte... | |
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Mehdi.O Expert sup
Nombre de messages : 815 Age : 29 Localisation : Rabat Date d'inscription : 23/07/2010
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 16:37 | |
| Solution du problème : 1ère solution :- Spoiler:
Bon par homogénité on suppose que : a+b+c=1. L'inégo est donc équivalente à : . On défnit p,q,r les quantités habituelles , on obtient l'inégo : 4q²-6qr-q-r<=0.Mais par shur on a 4q<=1+9r, ainsi on a LHS=q(4q-6r-1)-r<=(27r²-r)/4<=0 ( car r<=1/27 par AM/GM). Sauf erreur . 2ème solution :- Spoiler:
L'inégo est équivalente après soustraction ( RHS-LHS): . Par symétrie on suppose que a>=b>=c. On a les deux suites (a+b-2c,..) et ((a²+b²)/(a+b),..) sont dans le même ordre,puisque a+b-2c>=a+c-2b <=> b>=c et (a²+b²)/(a+b)>=(a²+c²)/(a+c)<=>a²c+b²a+b²c>=a²b+c²a+bc² er nous avons a²c>=ac² et par réordonement on a : b²a+b²c>=ab²+abc>=c²b+ab². Ainsi on applique Chebsyev et le résultat découle puisque RHS=0. Sauf Erreur:D ..
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aymas Maître
Nombre de messages : 168 Age : 28 Localisation : tanger Date d'inscription : 07/02/2012
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 16:40 | |
| - Spoiler:
ne t'en fait pas ali c'est ma faut mais je pense que je l'ai trouver cette fois ci ce qui laisse a conclure
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Mehdi.O Expert sup
Nombre de messages : 815 Age : 29 Localisation : Rabat Date d'inscription : 23/07/2010
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 16:44 | |
| - aymas a écrit:
- Spoiler:
ne t'en fait pas ali c'est ma faut mais je pense que je l'ai trouver cette fois ci ce qui laisse a conclure
Le passage qui mène vers l'ordre des suites est faux désolé | |
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ali-mes Expert sup
Nombre de messages : 986 Age : 28 Localisation : Tétouan Date d'inscription : 01/10/2010
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 17:23 | |
| - Mehdi.O a écrit:
- Solution du problème :
1ère solution :
- Spoiler:
Bon par homogénité on suppose que : a+b+c=1. L'inégo est donc équivalente à : . On défnit p,q,r les quantités habituelles , on obtient l'inégo : 4q²-6qr-q-r<=0.Mais par shur on a 4q<=1+9r, ainsi on a LHS=q(4q-6r-1)-r<=(27r²-r)/4<=0 ( car r<=1/27 par AM/GM). Sauf erreur . 2ème solution :
- Spoiler:
L'inégo est équivalente après soustraction ( RHS-LHS): . Par symétrie on suppose que a>=b>=c. On a les deux suites (a+b-2c,..) et ((a²+b²)/(a+b),..) sont dans le même ordre,puisque a+b-2c>=a+c-2b <=> b>=c et (a²+b²)/(a+b)>=(a²+c²)/(a+c)<=>a²c+b²a+b²c>=a²b+c²a+bc² er nous avons a²c>=ac² et par réordonement on a : b²a+b²c>=ab²+abc>=c²b+ab². Ainsi on applique Chebsyev et le résultat découle puisque RHS=0. Sauf Erreur:D ..
Joli Mehdi.O ! Voici ma réponse spoilée: - Spoiler:
L'inégalité à démontrer est équivalente à: . Soient p,q et r les quantités habituelles, on trouve après développement: Donc: . Et on a: . Donc l'inégalité devient: . Et on a d'après l'inégalité de Schur (t=1): . Donc il suffit montrer: Ce qui est clairement vrai... ( P.S: j'ai utilisé ces 3 identités )
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Nayssi Maître
Nombre de messages : 235 Age : 28 Date d'inscription : 26/12/2010
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 18:58 | |
| Salut, Solution 4 ... Faux ...
Dernière édition par Nayssi le Jeu 09 Fév 2012, 17:34, édité 3 fois | |
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az360 Expert grade2
Nombre de messages : 312 Age : 30 Localisation : agadir Date d'inscription : 28/11/2010
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 19:33 | |
| voila ma généralisation de cette problème : a,b,c des reels tel que : a+b+c strictement superieur a 0 . Montrer l'inegalité !!! bn chance .... | |
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aymas Maître
Nombre de messages : 168 Age : 28 Localisation : tanger Date d'inscription : 07/02/2012
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 21:20 | |
| Est ce que quelq'un peut m'expliquer qu'est ce que sa veut dire l'homogénité ????? | |
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Nayssi Maître
Nombre de messages : 235 Age : 28 Date d'inscription : 26/12/2010
| Sujet: Re: Inégalité Mer 08 Fév 2012, 21:57 | |
| Sauf erreur : Si tu multiplies chaque variable par k, les k se simplifient pour retourner à l'inégalité initiale (Ce n'est pas la définition hein! C'est juste comment le prouver. La définition rigoureuse me dépasse !) Exemple : L'inegalité a²+b²+c²>=ab+bc+ac est homogène parce que (ka)²+(kb)²+(kc)²>=(ka)(kb)+(kb)(kc)+(ka)(kc) <=> k²(a²+b²+c²)>=k²(ab+bc+ac) <=> a²+b²+c²>=ab+bc+ac Si une inegalité est homogene, tu peux poser des contraintes sur a+b+c ou abc... Ceci se demontre bien sûr en choisissant le bon k! Regarde ce lien : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/435078-inegalite-homogene.html
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| Sujet: Re: Inégalité | |
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