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 Inégalité

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Ahmed Taha (bis)
aymas
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ali-mes
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ali-mes
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MessageSujet: Inégalité    Inégalité  EmptyLun 06 Fév 2012, 20:32

Soient a, b et c des réels strictement positifs, montrer que:

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Nayssi
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Nayssi


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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyLun 06 Fév 2012, 20:54

Salut,
Un coup de Chebychev + Nesbitt donne le resultat! Je posterai ma réponse quand j'aurai le temps!
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aymas
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMar 07 Fév 2012, 20:48

oui c'est évidement clair en utilisant l'inegalite de Chebyshev obtenue par une réoredonement puisque a et b et c jouent un role symetrique ce qui conduit a supposer que l'un d'eux est le plus grand et un autre est le plus petit.puis on conclut le résultat.
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMar 07 Fév 2012, 22:23

J'aimerais bien voir une solution complète si c'est possible !
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aymas
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMar 07 Fév 2012, 23:39

ok.
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aymas
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMar 07 Fév 2012, 23:40

mais je ne maitrise pas utiliser le latex
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aymas
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMar 07 Fév 2012, 23:53

par symétrie on suppose que a est supérieur de b supérieur de c.
alors a²+b² supérieur de a²+c² supérieur de b²+c²
ainsi 1/(b+c) est supérieur de 1/(a+c) supérieur de 1/(b+a)
par reordonnement on a
(a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c) est inferieur de (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(b+c)+(b²+c²)/(a+b)
alors il suffit de prouver que S= (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(b+c)+(b²+c²)/(a+b) est inferieur de 3(a²+b²+c²)/(a+b+c) ce qui est vrai puisque on a d'après l'inégalité de Chebyshev
1/3 S multiplier par ((a+b)+(a+c)+(b+c))est inférieur de 2(a²+b²+c²)
ce qui laisse a conclure le résultat


Dernière édition par aymas le Mer 08 Fév 2012, 12:00, édité 1 fois
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Ahmed Taha (bis)
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 00:34

ali-mes a écrit:
Soient a, b et c des réels strictement positifs, montrer que:

Inégalité  Gif

voici ma solution :

Inégalité  Png10
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 01:05

abdelkrim-amine a écrit:
ali-mes a écrit:
Soient a, b et c des réels strictement positifs, montrer que:

Inégalité  Gif

voici ma solution :

Inégalité  Png10
La dernière ligne est fausse, ton inégalité sera inversée Wink
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Ahmed Taha (bis)
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 01:09

Mehdi.O a écrit:
]La dernière ligne est fausse, ton inégalité sera inversée Wink
ahh oui c'est vrai que Inégalité  Png Mad .dsl je n'ai pas fait attention Sad
en tous cas merci Smile
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Ahmed Taha (bis)
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 01:21

aymas a écrit:
par symétrie on suppose que a est supérieur de b supérieur de c.
alors a²+b² supérieur de a²+c² supérieur de b²+c²
ainsi 1/(b+c) est supérieur de 1/(a+c) supérieur de 1/(b+a)
par reordonnement on a
(a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c) est inferieur de (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(b+c)+(b²+c²)/(a+b)
alors il suffit de prouver que S= (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(b+c)+(b²+c²)/(a+b) est inferieur de 3(a²+b²+c²)/(a+b+c) ce qui est vrai puisque on a d'après l'inégalité de Chebyshev
1/3 S multiplier par ((a+b)+(a+c)+(b+c))est inférieur de 2(a²+b²+c²)

ce qui laisse a conclure le résultat
je pense que votre solution est fausse voila :
Inégalité  Png

P.S pour écrire en latex voici le lien : Inégalité  Png
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Ahmed Taha (bis)
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 03:10

Inégalité  Png.download?\sum\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\le\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}\Leftrightarrow&space;\sum&space;a+\frac{1}{2}\sum&space;\frac{(a-b)^2}{a+b}\leq&space;\frac{3\sum&space;a^{2}}{\sum&space;a}\\\\\Leftrightarrow&space;\sum&space;\frac{(a-b)^2}{a+b}\leq&space;\frac{2\sum(a-b)^2}{\sum&space;a}\\\\on\&space;applique\&space;la&space;\&space;transformation\&space;de\&space;Ravi\&space;:\&space;a=x+y,\&space;b=x+z,\&space;c=y+z\\\\avec\&space;x,y,z%3E&space;0
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boubou math
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 11:22

abdelkrim-amine a écrit:
Inégalité  Png.download?\sum\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\le\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}\Leftrightarrow&space;\sum&space;a+\frac{1}{2}\sum&space;\frac{(a-b)^2}{a+b}\leq&space;\frac{3\sum&space;a^{2}}{\sum&space;a}\\\\\Leftrightarrow&space;\sum&space;\frac{(a-b)^2}{a+b}\leq&space;\frac{2\sum(a-b)^2}{\sum&space;a}\\\\on\&space;applique\&space;la&space;\&space;transformation\&space;de\&space;Ravi\&space;:\&space;a=x+y,\&space;b=x+z,\&space;c=y+z\\\\avec\&space;x,y,z%3E&space;0
On ne peux appliquer les transformation de Ravi sauf si a,b,c sont des cotés d'un triangle .
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aymas
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 11:59

ah c'est vrai j'ai pas fais attention mais je pense que la mienne est juste et il existe une faute de frappe comise par ali car l'inégalité n'est pas verifier pour a=1 ;b=2 ;c=3 et on trouve que le membre gauche de l'inégalité est supérieur de membre droit
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aymas
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 12:03

l'inégalité doit être inversée
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aymas
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 12:17

si c'est possible je vais proposer un exo
Inégalité  Moz-screenshot-11
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 14:11

aymas a écrit:
ah c'est vrai j'ai pas fais attention mais je pense que la mienne est juste et il existe une faute de frappe comise par ali car l'inégalité n'est pas verifier pour a=1 ;b=2 ;c=3 et on trouve que le membre gauche de l'inégalité est supérieur de membre droit

aymas a écrit:
l'inégalité doit être inversée


Ne dis pas n'importe quoi !

Pour a=1, b=2 et c=3, on trouve: LHS=6.76.. et RHS=7 !

Jusqu'à présent, personne n'a donné une preuve correcte...
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 16:37

Solution du problème :
1ère solution :
Spoiler:
2ème solution :
Spoiler:
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aymas
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 16:40

Spoiler:
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 16:44

aymas a écrit:
Spoiler:
Le passage qui mène vers l'ordre des suites est faux désolé
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 17:23

Mehdi.O a écrit:
Solution du problème :
1ère solution :
Spoiler:
2ème solution :
Spoiler:

Joli Mehdi.O !

Voici ma réponse spoilée:
Spoiler:

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Nayssi
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 18:58

Salut,
Solution 4
... Faux ...


Dernière édition par Nayssi le Jeu 09 Fév 2012, 17:34, édité 3 fois
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az360
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 19:33

voila ma généralisation de cette problème :
a,b,c des reels tel que : a+b+c strictement superieur a 0 .
Montrer l'inegalité !!! bn chance .... Very Happy
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aymas
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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 21:20

Est ce que quelq'un peut m'expliquer qu'est ce que sa veut dire l'homogénité ?????


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Nayssi
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Nayssi


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MessageSujet: Re: Inégalité    Inégalité  EmptyMer 08 Fév 2012, 21:57

Sauf erreur :
Si tu multiplies chaque variable par k, les k se simplifient pour retourner à l'inégalité initiale (Ce n'est pas la définition hein! C'est juste comment le prouver. La définition rigoureuse me dépasse !)
Exemple : L'inegalité a²+b²+c²>=ab+bc+ac est homogène
parce que (ka)²+(kb)²+(kc)²>=(ka)(kb)+(kb)(kc)+(ka)(kc)
<=> k²(a²+b²+c²)>=k²(ab+bc+ac)
<=> a²+b²+c²>=ab+bc+ac
Si une inegalité est homogene, tu peux poser des contraintes sur a+b+c ou abc...
Ceci se demontre bien sûr en choisissant le bon k!
Regarde ce lien : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/435078-inegalite-homogene.html
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