Trois exercices type olympiades.

Exercice 1

Résoud dans R l'équation suivante :
V(cosx) + V(sinx) =1


Exercice 2

Comparez:
555/666
4444/5555
et 333333/444444




Exercice 3

Considérons le nombre qui s'écrit sous la forme suivante : 200020002000 .... 2000
Sachant que 2000 se répète 2000 fois .
Est ce que ce nombre est un carré (moraba3oun kamil) ?

je vois rien :p

Soukaina Amaadour a écrit:

Exercice 3
Considérons le nombre qui s'écrit sous la forme suivante : 200020002000 .... 2000
Sachant que 2000 se répète 2000 fois .
Est ce que ce nombre est un carré (moraba3oun kamil) ?

C'est le seul exercice qui apparait, je propose alors ma solution:
Il est facile de remarquer que si on pose où 2000 se répète 2000 fois, alors , le dernier nombre se compose de zéros.
Et donc .
Il est facile de voir que 5 divise notre A. Et pour que a soit le carré d'un entier, il faut que l'exposant de 5 dans sa décomposition en facteurs premiers soit un entier pair.
Et comme divise 2000, il faudrait au moins que soit divisible par 5; i.e: il faut que le nombre des unités de est 0 ou 5.
Cela n'est pas absolument le cas car le nombre des unités de est 1.
Ainsi A ne peut pas être le carré d'un entier naturel.
Sauf erreurs.

pour le probleme 3 voila ce que je te propose : il est facile de montrer par une récurrence que : , pour n=2000 .....

Chapeau bas à nmo et Oty
Il reste deux exos' maintenant.

je crois qu'on les vois pas ces deux exos ^^

Exo 1 : Resoud dans R l'equation: V(cosx) + V(sinx) =1

Exo 2: Comparez:
555/666
4444/5555
et 333333/444444

exo 1: posant : t=rac(cos(x)) ; p=rac(sin(x)) , on a : t+p=1=t^4+p^4 , t(1-t^3)+p(1-p^3)=0 ,puisque 0=<t,p=<1 on a donc t (1-t^3)=0 et p (1-p^3)=0 .....

Oty a écrit:

exo 1: posant : t=rac(cos(x)) ; p=rac(sin(x)) , on a : t+p=1=t^4+p^4 , t(1-t^3)+p(1-p^3)=0 ,puisque 0=<t,p=<1 on a donc t (1-t^3)=0 et p (1-p^3)=0 .....

Y a un cas ou p=1/2 et T=1/2 --> cosx=1/4 et sins=1/4 -.....
Ta méthode ne le prend pas en compte! ??

Pour le dernier ex 555/666= 5/6 et 4444/5555=4/5 et 333333/444444=3/4
5/6>4/5 et 4/5>3/4 ainsi 555/666>4444/5555>333333>444444

amigo-6 a écrit:

Oty a écrit:

exo 1: posant : t=rac(cos(x)) ; p=rac(sin(x)) , on a : t+p=1=t^4+p^4 , t(1-t^3)+p(1-p^3)=0 ,puisque 0=<t,p=<1 on a donc t (1-t^3)=0 et p (1-p^3)=0 .....

Y a un cas ou p=1/2 et T=1/2 --> cosx=1/4 et sins=1/4 -.....
Ta méthode ne le prend pas en compte! ??

tu es sur que ce que tu as ecris est correcte ? ton résultat donne 2 valeurs différente a ''x'' , ce qui est impossible !

ah oui dsl

1)trouvez les entiers x y z tel que x^3+2y^3=4z^3

2) les bissectrices intérieures des angles <B et <C d un triangle ABC coupent les cotés en B' ET C' respectivement.
Démontrer que la droite B'C' coupe le cercle inscrit dans le triangle ABC! godd luck:D

1)
x^3=-2(y^3-2z^3)
x est donc pair
Concisérons x' un entier tel que x=2x'
On a donc : 8x'^3=2(2z^3-y^3)
donc: 4x' ^3=2z^3-y^3
Donc y^3= 2(z^3-2x'^3 )
y est donc pair !
Prenons: Y un entier tel que : y=2Y
Donc: 8x'^3+16Y^3=4z^3
Donc: z^3=2x'^3+2Y^3
Donc z^3=2(x'^3+Y^3)
z est aussi pair ..
Et puisque x , y et z sont des nombres pairs .. Cette équation n'a pas de solution dans IN !

Soukaina Amaadour a écrit:

1)
x^3=-2(y^3-2z^3)
x est donc pair
Concisérons x' un entier tel que x=2x'
On a donc : 8x'^3=2(2z^3-y^3)
donc: 4x' ^3=2z^3-y^3
Donc y^3= 2(z^3-2x'^3 )
y est donc pair !
Prenons: Y un entier tel que : y=2Y
Donc: 8x'^3+16Y^3=4z^3
Donc: z^3=2x'^3+2Y^3
Donc z^3=2(x'^3+Y^3)
z est aussi pair ..
Et puisque x , y et z sont des nombres pairs .. Cette équation n'a pas de solution dans R !

T es sur ? prend le cas x=y=z=0

Attend , un entier = 3adad 2awali c'est ça ?
Et d'après mes connaissances, un entier ne peu être divisé que par 1 et lui même !
Mais 0 se divise par tous les nombres non ?

Soukaina Amaadour a écrit:

Attend , un entier = 3adad 2awali c'est ça ?
Et d'après mes connaissances, un entier ne peu être divisé que par 1 et lui même !
Mais 0 se divise par tous les nombres non ?

Non , 3adad awali = nombre premier

Et entier c'est uoi ?

adad sahih