ptite inégalité type olympiades tronc commun.

Montrer que : si a, b ,c sont des réels distincts alors :
a²+b²+c² > ab+bc+ac
Et on a l'égalité dans le cas ou a=b=c.
L'égalité est triviale reste l'inégalité.

prend le fait que (a²+b²)/2>ab

salut mathsmaster..
je crois que ta solution est la plus claire ...
* si a#b#c
(a²+b²)/2>ab
(a²+c²)/2>ac
(c²+b²)/2>ac
en sommant on trouve que :
a²+b²+c² > ab+bc+ac
* et si a=b=c
avec la même façon on trouve que :
a²+b²+c² >= ab+bc+ac

salut mathema t'as fait une erreur au début :
(a-b-c)² = a²+b²+c² - 2ab -2 ac +2 bc.
Alors c'est faux ce que tu as fais.
La solution attendue et celle de mathsmaster,et c'est la plus simple .
Autrement on peut appliquer l'inégalité du réordonnement.

chebychev a écrit:

salut mathema t'as fait une erreur au début :
(a-b-c)² = a²+b²+c² - 2ab -2 ac +2 bc.
Alors c'est faux ce que tu as fais.
La solution attendue et celle de mathsmaster,et c'est la plus simple .
Autrement on peut appliquer l'inégalité du réordonnement.

je suis d'accord avec vous ...
mais pourrais-je savoir quelle méthode as-tu utilisé ?
(a-b-c)²=(a-b-c)(a-b-c)= a²-ab-ac +b²+bc-ac + bc +c²
= a²+b²+c² - 2ab -2 ac +2 bc.
quand je ne trouve pas des régles j'utilise cette méthode ..

(a-b)² + (b-c)² + (a-c)² > 0 <=> a²+b²+c² > ab + bc +ac

salut koutaiba


(x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)

first

kadir lmoraba3 l tous les x ,y ,z

2.........

kadir 2(ljodaa2 dial x , y, z kola wa7da fi wa7da )

mathema a écrit:

c pas toujours 2K>K

slt voila ma reponse =)
on montre que a²+b²+c² > ab+bc+ac 2( a²+b²+c²) > 2(ab+bc+ac)
ca nous donne a²+b²-2ab+b²+c²-2bc+ a²+c²-2ac=(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²>0

j espere qu il n y a pas de fautes dans mon resonnement
dans le cas a=b=c on aure a²+b²+c² = ab+bc+ac

salut je vais poster ma solution :

on a² +b²+c² = 1/2 (a²+b²) + 1/2 (b²+c²) +1/2 (a²+c²)

on a : a²+b² >= 2ab et b²+c² >= 2bc et a²+c² >= 2ac


donc on deduit que : a²+b²+c² >= ab+ac+bc

bonjour
on a²+b²>=2ab
a²+c²>=2ac
b²+c²>=2bc
2(a²+b²+c²)>=2(ab+ac+bc)
a²+b²+c² > ab+bc+ac