Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)

j'ai l'honneur de vous annoncer le début d'un nouveau jeu dans le but de préparer les olympiades de cette année.
les conditions de participer sont très simples:
1)- poster le problème en indiquant son numéro.
2)- celui qui a trouvé la réponse, il doit poster un autre problème. Mais si la solution n'est pas trouvée pendant 48 heure, celui qui a posté le problème doit poster une réponse.
3)- on est tous ici pour apprendre, donc, les taupins n'hésitez pas à nous enrichir avec vos suggestions et conseilles.
4)- si quelqu'un postera un problème qui existe déjà dans le forum. il est préférable de poster le lien dans-lequel on peut trouver la réponse.

Enfin, je vous propose ces 2 exos:

Problème 1:
a, b et c trois nombres réels strictement positifs tel que a =< b =< c
M.Q:

Problème 2:
soient x, y et z trois réels strictement positifs tel que: x+y+z=1.
M.Q:

bsr!!
je commence
pour le problème 1 pas besoin d'ajouter la condition sur a,b et c puisque l'inégalité est symétrique.
voila la solution de toute façon:
poser x=b+c , y=a+c et z=a+b alors remarquer que :y+z=2a+z et ainsi de suite
Donc si on pose le membre de gauche S on aura
2S+3=(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z=(y/x+x/y)+(y/z+z/y)+(z/x+x/z) >= 2+2+2=6
D'ou l'négalité

voila ma méthode pour le 1er problème:
on a
d'où et
alors et
d'où
alors
d'après l'inégalité de Chebyshev on a
donc
donc
d'où le résultat


CQFD

c'est bien, mais j'ai pas encore fini

je continue pour le problème 2
remarquer que: z+xy=z(x+y+z)+xy=(z+x)(z+y)
donc racine(xy/z+xy)=racine(xy/(z+x)(z+y) <=1/2(z/(z+x)+z/(z+y))
et on fait la mm chose pour les autre termes, on obtient l'inégalité en sommant.

c'est à mon tour maintenant de poser un probleme et cette fois ça ne sera pas une inégalité, mais un exercice pas facile en arithmétique, mais de solution très courte, alors essayer de vos mieux pour trouver une solution:
voila le problème
trouver toutes les solutions dans N*xN*xN* de l'équation:
4xy-x-y=z^2

exo :

on donne: An=1/(rac(n).(n+1)+n.rac(n+1)) (n en indice)

calculez:
S=A1+A2+A3+A4+A5+A6+........+A99

P.S:désolé, je ne maitrise pas Latex xD.

mais il faut répondre à l'exo posé d'abord, il faut respecter les règles du jeux
(pour ton exercice,c'est une somme télescopique )

voila sa vient:
voila les données

http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_{n}=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}

et calculez S (1,2,3,4,5..... sont en indice )

bonne chance

ah dezo ^^
jgo essaye, j'ai po vu

supista a raison il faut d'abord répondre au problème qu'il a posté

la reponse est: il n'y a pas de solution (x,y,z) dans NxNxN .
pour la démonstration je la met dans quelques instants .

je crois qu'il faut au moin ZxZxZ pour pouvoir écrir 4xy-x-y en forme de carré complet
non??

??????????????????

bah je peux t'affirmer qu'il n'y a pas de solution si les variables sont des entiers positifs, j'ai une solution qui ne fait pas intervenir des inégalités ou des raisonnements genre analytique, mais que de l'arithmétique élémentaire et des manipulations algébriques

j'ai deux question pour vous klk1 ki pe me dire c koi l'inégualité de Chebyshev et klk1 ki peut me donner une solution détaillée pour le 2eme probleme ......

l'inégalité de Chebyshev:
Soit
et des réels strictement positifs. tel que et
d'après l'inégalité de Chebyshev on a

supista a écrit:

bah je peux t'affirmer qu'il n'y a pas de solution si les variables sont des entiers positifs, j'ai une solution qui ne fait pas intervenir des inégalités ou des raisonnements genre analytique, mais que de l'arithmétique élémentaire et des manipulations algébriques

cela est fort logique, il n y a pas de contre example,
grosse erreur de ma part

je vais attendre jusqu'à cette nuit, si personne ne peux parvenir à trouver une solution, je vais poster ma solution incha2alah, avec un autre problème , je vous laisse essayer j'ai maintenant un cours, bonne chance

ma méthode pour le 2eme problème:
on a z+xy=z(x+y+z)+xy=xz+yz+z²+xy=(x+z)(y+z)
d'où
et d'après IAG on a:
de la même façon on démontre que
et
en sommant en trouve que

thx, on essayera

ali-mes a écrit:

l'inégalité de Chebyshev:
Soit
et des réels strictement positifs.
d'après l'inégalité de Chebyshev on a

ali-mes a écrit:

ma méthode pour le 2eme problème:
on a z+xy=z(x+y+z)+xy=xz+yz+z²+xy=(x+z)(y+z)
d'où
et d'après IAG on a:
de la même façon on démontre que
et
en sommant en trouve que

merci bcp ali-mes pour l'explication !

j'ai édité le 1er message ==== (faute d'inattention)

A446 a écrit:

exo :

on donne: An=1/(rac(n).(n+1)+n.rac(n+1)) (n en indice)

calculez:
S=A1+A2+A3+A4+A5+A6+........+A99

P.S:désolé, je ne maitrise pas Latex xD.

An=1/(rac(n).(n+1)+n.rac(n+1)) (n en indice)
An=(rac(n).(n+1)-n.(n+1))/((n).(n+1)²-n^2.(n+1))
=(rac(n).(n+1)-n.rac(n+1))/n(n+1)
=1/rac(n) - 1/rac(n+1)
A1 = 1 - 1/rac(2)
A2 = 1/rac(2) - 1/rac(3)
.
.
.
A99 = 1/rac(99) - 1/10
donc S = 1 - 1/10 = 9/10

l'exo que A446 est facile. celui de soupista est un peu compliqué !!!

d'après mes recherces c'est une equation diophantine , mais aprés plusieurs modulations je n'ai toujours pas trouvé une solution arithmétique

abdelkrim-amine a écrit:

A446 a écrit:

exo :

on donne: An=1/(rac(n).(n+1)+n.rac(n+1)) (n en indice)

calculez:
S=A1+A2+A3+A4+A5+A6+........+A99

P.S:désolé, je ne maitrise pas Latex xD.

An=1/(rac(n).(n+1)+n.rac(n+1)) (n en indice)
An=(rac(n).(n+1)-n.(n+1))/((n).(n+1)²-n^2.(n+1))
=(rac(n).(n+1)-n.rac(n+1))/n(n+1)
=1/rac(n) - 1/rac(n+1)
A1 = 1 - 1/rac(2)
A2 = 1/rac(2) - 1/rac(3)
.
.
.
A99 = 1/rac(99) - 1/10
donc S = 1 - 1/10 = 9/10

jolie coup, c'est bon