Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)

si x=y , d’après la condition x=0 l'inégalité est vérifier . si x différent de y , il suffit de remarque que (x-y)(x²+4y²) < x^3+y^3 , car ceci est équivalent a : 4y²x-yx² - 5y^3=-y(y²+(2y-x)²) < 0 d'ou le résultat d’après la condition .

Problème 98 : a,b,c > 0 tel que : abc=1 . Prouver que : $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$

Maître Nombre de messages : 279 Age : 27 Date d'inscription : 01/07/2011

Oty a écrit:: Problème 98 : a,b,c > 0 tel que : abc=1 . Prouver que : $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$

l'inégalité est équivalente à $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$
ou bien $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$
une application directe d'IAG Smile

oui bravo

.

Maître Nombre de messages : 279 Age : 27 Date d'inscription : 01/07/2011

Problème 99:
Salut,
Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Image_45

Oty a écrit:: si x=y , d’après la condition x=0 l'inégalité est vérifier . si x différent de y , il suffit de remarque que (x-y)(x²+4y²) < x^3+y^3 , car ceci est équivalent a : 4y²x-yx² - 5y^3=-y(y²+(2y-x)²) < 0 d'ou le résultat d’après la condition .

Sans mentir, je n'ai jamais vu une telle solution. Bravo.
Cependant, ta solution manque de précision:
Tu dois démontrer que x est supérieur ou égal à y, ce qui est trivial depuis l'hypothèse.
Ensuite, l'inégalité à prouver doit être large: En effet, le couple (1,0) mène vers une égalité.
Au plaisir!

on pose : a=max(a,b,c) , l'inégalité est équivalente a : a(b-c)²(b+c-a)+b(a-b)(a-c)(a+b-c) >=0 ce qui vrai d’après l'inégalité triangulaire .

Problème 100 7adide jami3e azwaje (a,b) min z² bi7ayte : 2ab=a+b+4 .

Merci nmo Very Happy

.

Oty a écrit:: Problème 100 7adide jami3e azwaje (a,b) min z² bi7ayte : 2ab=a+b+4 .

Je propose une solution, même si l'exercice est facile:
L'équation proposée équivaut à (2a-1)(2b-1)=4ab-2a-2b+1=2(2ab-a-b)+1=2*4+1=9.
Comme les diviseurs de 9 sont -1, -3, -9, 1, 3, 9 on doit étudier un tas de cas.
On peut réduire ces cas en remarquant la symétrie du problème:
_Si 2a-1=-1 et 2b-1=-9, alors a=0 et b=-4.
_Si 2a-1=-3 et 2b-1=-3, alors a=-1 et b=-1.
_Si 2a-1=1 et 2b-1=9, alors a=1 et b=5.
_Si 2a-1=3 et 2b-1=3, alors a=2 et b=2.
Il s'ensuit que les couples solutions sont (0,4); (4,0); (1,5); (5,1); (-1,-1) et (2,2).
Sauf erreurs.

probleme 101 :
ABCD inscriptible et les deux bissectrice de DBC et DAC se coupet en L . montrer que : L appartenant au cercle circonscrit du triangle ABC .
Very Happy

Solution au Problème 101:

Spoiler:

Problème 102:
Soient a,b et c des réels positifs. Montrer que: $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$

Maître Nombre de messages : 279 Age : 27 Date d'inscription : 01/07/2011

@ Ali: ce lemme"Soit ABC un triangle, la deuxième intersection de la bissectrice intérieure de l'angle A avec le cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de l'arc BC" est suffisant pour conclure dans quelques lignes Wink

!
Solution au problème 102:
l'inégalité est équivalente à
$Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$
ce qui est une application directe de Schur! (n=1)
Je n'ai pas de problème à proposer

diablo902 a écrit:: @ Ali: ce lemme"Soit ABC un triangle, la deuxième intersection de la bissectrice intérieure de l'angle A avec le cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de l'arc BC" est suffisant pour conclure dans quelques lignes !

Hein !?
Je ne vois pas l'utilité de ce commentaire, puisque c'est presque la même chose que j'ai fait !

ma solution de my own (mybie) probleme 101
notant : L et l'intersection du deux bissectrices
on a : DBC = DAC alors LBC = LAC et ca implique que : LCBA est inscriptibles d'ou le resultat !!

Problème 103:
Soient x, y et z des réels strictement positifs.
Montrez que: $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif.latex?(2x-y-z).\frac{x+y}{y+z}+(2y-z-x).\frac{y+z}{z+x}+(2z-x-y)$ .
Bonne chance.

Maître Nombre de messages : 143 Date d'inscription : 12/12/2011

J'ai deux reproches à te faire:
_Je ne comprends pas bien le passage suivant:

Siba a écrit:: <==> ax -bx +by -cy +cz -az >0
<==> (a-b)x/b + (b-c)y/c + (c-a)z/a > 0

_Je ne comprends pas pourquoi tu travailles avec une inégalité stricte?

Probleme 103 :
one line solution 1 : $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$ (c'est claire Am-Gm)

az360 a écrit:: Probleme 103 :
one line solution 1 : $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$ (c'est claire Am-Gm)

Je n'ai pas vérifié la factorisation que tu as cité, mais à part ça: si elle est juste, alors démontrer que $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$ est positif découle de l'inégalité du réordonnement.
Sinon, je propose une solution d'un certain marocain qui fait preuve d'une beauté incomparable (extraite de "art of problem solving"):
On procède par équivalences successives:
On a $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif.latex?(2x-y-z).\frac{x+y}{y+z}+(2y-z-x).\frac{y+z}{z+x}+(2z-x-y)$ .
Donc $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif.latex?2x.\bigg(\frac{x+y}{y+z}\bigg)-x-y+2y.\bigg(\frac{y+z}{z+x}\bigg)-y-z+2z$ .
Ou encore $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif.latex?2x.\bigg(\frac{x+y}{y+z}\bigg)+2y.\bigg(\frac{y+z}{z+x}\bigg)+2z$ .
Donc $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif.latex?x.\bigg(\frac{x+y}{y+z}\bigg)+y.\bigg(\frac{y+z}{z+x}\bigg)+z$ .
Donc $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$ .
Donc $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$ .
Donc $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif.latex?x.\bigg(\frac{x}{y+z}+\frac{z}{x+y}\bigg)+y.\bigg(\frac{y}{z+x}+\frac{x}{y+z}\bigg)+z$ .
Donc $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif.latex?x.\bigg(\frac{x}{y+z}+1+\frac{z}{x+y}+1\bigg)+y.\bigg(\frac{y}{z+x}+1+\frac{x}{y+z}+1\bigg)+z$ .
Et ainsi $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif.latex?x.\bigg(\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+y}\bigg)+y.\bigg(\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{y+z}\bigg)+z$ .
Soit en réduisant $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$ .
Et finalement $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$ .
Ce qui est l'inégalité arithmético-géométrique.
(Voici de quoi je parle: $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif.latex?\frac{x+y}{y+z}+\frac{x+z}{x+y}+\frac{y+z}{z+x}\geq 3\bigg(\frac{x+y}{y+z}.\frac{x+z}{x+y}$ ).
CQFD.
Sauf erreurs.

Je propose:
Problème 104:
Déterminez tous les entiers n tel que $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$ est un entier.
Bonne chance.

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