Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

Je commence par proposer ces deux exercices:
Le premier:
x, y, z, et t sont des réels tels que x>=-1, y>=-1, z>=-1, t>=-1.
et x+y+z+t=2.
Démontrez que: x^3+y^3+z^3+t^3>=1/2.
Le deuxième:
x et y des réels tels que 1<x^2-xy+y^2<2.
Prouvez que 9/2=<x^4+y^4=<8.
Bonne chance.

je le copier ... ok?

Vas-y.
Tu peux le faire avec plaisir.

m3alm issam

waaaaaaaw , ma9dartch n5arejha walakin 3issam m3alam !!! ma3andi mangol ....

Selon la propriété que tu as écris on a (x^3+y^3+z^3+t^3)(1^3+1^3+1^3+1^3)>=x*1+y*1+z*1+t*1.
Donc (x^3+y^3+z^3+t^3)(1+1+1+1)>=2.
Donc (x^3+y^3+z^3+t^3)(4)>=2.
Donc (x^3+y^3+z^3+t^3)>=2/4.
Donc x^3+y^3+z^3+t^3>=1/2.
Je souhaite aussi savoir comment démontrer la propriété que tu as utilisé.

salut nmo

atontion

bonjour issam tu pe m indiquer le nom de cette propriété.

c'est l'inégalité de Couchy-Shwartz,ou Holder sous la forme telle qu'elle est présenté dans la démo de Issam!

et vous êtres plus obligés d'apprendre ces trucs,ça figurment plus dans le programme des lyciens.

salut radouane l'inégalité de couchy-shwartz

alore

ça c est des exos de tronc commun?

slt. a,b,c,d sont des nombes réels strictement positifs,montrez que
a^2+b^2+c^2+c^2>=(a+b)(c+d)

issam stp si t'as la réponse n'hesite pas

Salut naplhtil
a²+c²>=2ac
a²+d²>=2ad
b²+c²>=2bc
b²+d²>=2bd
donc la somme donne
2(a²+b²+c²+d²)>=2(ac+ad+bc+bd)
==> a²+b²+c²+d²>=(a+b)(c+d)

trop fort merci bcp bcp

t as vite trouvé la solution??

oué c faciile!!!

t as déjà passé les olympiades f tron commun?

Voici la solution:
On a (a-b)^2>=0.
Donc a^2-2ab+b^2>=0.
Soit a^2+b^2>=2ab.
De même b^2+c^2>=2bc.
Et c^2+d^2>=2cd.
Et finalement d^2+a^2>=2da.
Donc 2a^2+2b^2+2c^2+2d^2>=2ab+2bc+2cd+2da.
Donc a^2+b^2+c^2+d^2>=ab+bc+cd+da.
Donc a^2+b^2+c^2+d^2>=b(a+c)+d(a+c).
Et finalement a^2+b^2+c^2+d^2>=(b+d)(a+c).
Sauf erreur.

issam erriahi a écrit:

slt issam ... d'apré ta démonstration
x^3+y^3+z^3+t^3 >= 2

or prenons x=y=z=t=1/2

donc x+y+z+t = 2

mais : x^3+y^3+z^3+t^3=1/2 et 1/2<2 donc ya un truc qui cloche dans
ton exo ...

heu Merci Mohe ... déja je suis nouveau sur le forum je ne suis pas encor habituer a toutes les inéquations ^^ et celle de Holder je la connaissait même pas ^^ !! Au fait si on applique Holder on aura
(x^3+y^3+z^3+t^3)(1+1+1+1)(1+1+1+1)>=(x+y+z+t)^3
donc : 16 (x^3+y^3+z^3+t^3)>= 2^3
(x^3+y^3+z^3+t^3)>= 1/2
lol c'est super ^^ sa nous raméne directement au résultat merci encor ^^

nmo a écrit:

x,y,z,t étant des réels tels que x>=-1, y>=-1, z>=-1, t>=-1.
et x+y+z+t=2.
démontrez que: x^3+y^3+z^3+t^3>=1/2.

Malheureusement,toutes les solutions présentées sont fausses,puisque l'application de l'inégalité de Holder ou Caushy-Schwartz n'est pas autorisée pour les réels négatifs.En effet,j'ai dèja rencontré l'inégalité ça fait à peu près 2 ans et j'ai dèja posté ma solution sur ce forum.La solution était ainsi :

rachid18 a écrit:

Posons :

x=a-1 , y=b-1 , z=c-1 et t=d-1

L'inégalité devient :

a^3 +b^3 +c^3 +d^3 -3(a²+b²+c²+d²) +27/2 > 0 avec a,b,c,d >= 0 et a+b+c+d=6,

On a :

a^3 +b^3 +c^3 +d^3 >= (a²+b²+c²+d²)²/(a+b+c+d) = (a²+b²+c²+d²)²/6 ( Caushy-Shwartz );

Il suffit de prouver que:

(a²+b²+c²+d²)²/6 -3(a²+b²+c²+d²) +27/2 > 0;

Ce qui est équivalent à :

(a²+b²+c²+d²-9)² > 0 ce qui est vrai.