Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

rachid18 a écrit:

nmo a écrit:

x,y,z,t étant des réels tels que x>=-1, y>=-1, z>=-1, t>=-1.
et x+y+z+t=2.
démontrez que: x^3+y^3+z^3+t^3>=1/2.

Malheureusement,toutes les solutions présentées sont fausses,puisque l'application de l'inégalité de Holder ou Caushy-Schwartz n'est pas autorisée pour les réels négatifs.En effet,j'ai dèja rencontré l'inégalité ça fait à peu près 2 ans et j'ai dèja posté ma solution sur ce forum.La solution était ainsi :

rachid18 a écrit:

Posons :

x=a-1 , y=b-1 , z=c-1 et t=d-1

L'inégalité devient :

a^3 +b^3 +c^3 +d^3 -3(a²+b²+c²+d²) +27/2 > 0 avec a,b,c,d >= 0 et a+b+c+d=6,

On a :

a^3 +b^3 +c^3 +d^3 >= (a²+b²+c²+d²)²/(a+b+c+d) = (a²+b²+c²+d²)²/6 ( Caushy-Shwartz );

Il suffit de prouver que:

(a²+b²+c²+d²)²/6 -3(a²+b²+c²+d²) +27/2 > 0;

Ce qui est équivalent à :

(a²+b²+c²+d²-9)² > 0 ce qui est vrai.

bsr ...
JE vois pas d'ou tu tire sa moi j'ai toujours cru que cauchy shwarz s'appliquait a tout les réels et je pense que c'est le cas pour Holder aussi
... eceque tu pourrait donner un contre exemple stp

darkpseudo a écrit:

bsr ...
JE vois pas d'ou tu tire sa moi j'ai toujours cru que cauchy shwarz s'appliquait a tout les réels et je pense que c'est le cas pour Holder aussi
... eceque tu pourrait donner un contre exemple stp

Bonjour,

Malheureusement,tu avais tort.Bon,on sait que si x,y,z >= 0,selon l'inégalité de Caushy-Shwartz :


Cela n'est pas vrai pour tous les réels négatifs x,y et z.Contre exemple : prendre x=-y ! ...

a,b,c,d sont des nombres réels
montrez que
2(a^3+b^3+c^3)>=ab(a+b)+(b+c)bc+(c+a)ac
montrez oci que
(a^2+b^2^)c+(b^2+c^2)a+(c^2+a^2)b>=6abc

naplhitl a écrit:

a,b,c,d sont des nombres réels
montrez que
2(a^3+b^3+c^3)>=ab(a+b)+(b+c)bc+(c+a)ac
montrez oci que
(a^2+b^2^)c+(b^2+c^2)a+(c^2+a^2)b>=6abc

1)
a²+b²>=2ab
a²+b²-ab>=ab
(a+b)(a²+b²-ab)>=ab(a+b)
a^3+b^3>=ab(a+b)
b^3+c^3>=bc(b+c)
c^3+a^3>=ac(a+c)

Somme : 2(a^3+b^3+c^3)>=ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)

2)
a²+b²>=2ab
c(a²+b²)>=2abc
b(c²+a²)>=2abc
a(b²+c²)>=2abc
somme : a(b²+c²)+c(a²+b²)+b(c²+a²)>=6abc

merci!

x appartient à l'intervalle ouvert 1,2
montrez que
-3<2x^2-3x-2<0

svp pouvez vous postez la réponse de exo2.

lequel??

lexo k j vien d poser il est simple c juste pr éditer un ote msg k j lai écrit cherchez mm po la solution

nn le voici;
soit xet y de nombres reels tel que: 1≤x²-xy+x²≤2
1/ montrez que : 2/9≤x^4+y^4≤8
2/montrez que pour tout n de N tel que n≥3; on a :
x^2n+y^2n≥2/3^2n
svp aidez moi.

salut à tout l monde.
[i][b][b]j suis tellement perturbé .ou est la réponse correcte maintenant?
et merci d'avance

n est entier naturel non nul?
montrez que
2(racine carréede(n+1)-racine carrée den)<1/racine carrée de n<2(racine carrée de n-racine carrée de n-1
on pose(racine carrée c le signe$
A=1/$1+1/$2+1/$3.......+1/$10000
montrez que
2($1001-1)<A<199

La solution de cet exercice est en bas.

Un nouvel exercice:
Soit a,b et c des nombres strictement positifs:
Démontrez que .
Merci d'avance pour les réponses.
Bonne chance.

Démontez que:
* 8+8²..........................8^888=73k /k appartient à l'ensemble N.
* 5+5²+5^3........................5^555=31k /k appartient à l'ensemble N.
Bonne chance.

La solution que j'ai présenté semble incompréhensible pour l'exercice de naplhitl c'est pour ça que j'ai éditer mes messages.

Voilà la solution pour le problème de début:

houssam110 a écrit:

x²+y²=<2+xy
x^4+y^4+2x²y²=<4+x²y²+4xy
<=>x^4+y^4=<4xy+4-x²y²
<=>x^4+y^4-8=<-x²y²+4xy-4=-(xy-2)²=<0
<=>x^4+y^4=<8 (1)
on sait que 1/2(x²+y²)>=-xy
<=> 3/2(x²+y²)>=x²-xy+y²>=1
<=>x²+y²>=2/3
il est très facile de prouver que x^4+y^4>=1/2(x²+y²)²
donc x^4+y^4 >=1/2*4/9=2/9 (2)
de (1) et (2) ....
j'attends la confirmation.

Mais il reste celui ci:
Montrez que pour tout n de N tel que n≥3; on a :
x^(2n)+y^(2n)≥2/3^(2n).
Et je pense qu'on peut la déduire des question précédante.
Au plaisir.

rachid18 a écrit:

darkpseudo a écrit:

bsr ...
JE vois pas d'ou tu tire sa moi j'ai toujours cru que cauchy shwarz s'appliquait a tout les réels et je pense que c'est le cas pour Holder aussi
... eceque tu pourrait donner un contre exemple stp

Bonjour,

Malheureusement,tu avais tort.Bon,on sait que si x,y,z >= 0,selon l'inégalité de Caushy-Shwartz :

(x^3+y^3+z^3)(x+y+z) >= (x²+y²+z²)²

Cela n'est pas vrai pour tous les réels négatifs x,y et z.Contre exemple : prendre x=-y ! ...

bjr ... Heu si on prend ton égaliter elle doit s'écrir sous la forme :
((xVx)^2+(yVy)^2+(zVz)^2)(x+y+z) >= (x²+y²+z²)²

pour pouvoir appliquer Caushy ... or si on prend un réel négatif
avec la racine on sera dans les nombres complexes ( dont je ne connais pas grand chose ) ; donc voila ma question dans ton contre-exemple
il y a une racine négative ... eceque tu pourrait donner un exemple sans racine négative ...
Dsl d'être aussi casse pieds !!

a, b, et c sont des nombres positifs tels que a<b+c
Montrez que a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c).
Bonne chance.

je pense k il ya comme cet exo ds dimadima 1 er sc math

Comme je n'ai pas ce dimadima je veux savoir la solution.
Merci d'avance.

y a la solution avec les fonctions(belle et courte)
tu considère la fonction x/(x+1) qui est croissante sur l'intervalle [0,+00[
on a a<b+c <=>a+1<b+c+1
alors en appliquant x/(x+1)
on aura:a/(1+a)<(b+c)/(1+b+c)=b/(1+b+c)+c/(1+b+c)<b/(1+b)+c/(1+c)
-------------------------------------------------------------------------
et puis la solution du calcul:(moche et ennuyeuse)
on sait que a<b+c<=>a+ac+ab<b+c+ac+ab<=>a+ac+ab+abc<b+c+ac+ab+2abc+2bc
<=>a(1+c+b+bc)<(b+c+2bc)(1+a)
<=>a(1+c)(1+b)<(b(c+1)+c(b+1))(1+a)
<=>a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c)

N'y a t il pas une solution du calcul plus belle que celle ci et sans utilisation de cette ligne: a+ac+ab+abc<b+c+ac+ab+2abc+2bc?
Merci pour la réponse.