equation

résoudre dans (IN*)^3 l'equation suivante ::::




1/x + 1/y - 3/z =1

Arak lkhdma!!

x=1 et z=3y ou l'inverse .

je vx voir une methode si c'est possible

1/x+1/y>1 => x=1 ou y = 1 et c'est fini .

darkpseudo a écrit:

1/x+1/y>1 => x=1 ou y = 1 et c'est fini .

1/x+1/y >1 .? prenons x=2 et y=3 ..

x,y,z £{N^3} et tout 3 différent de 0 , donc x,y,z >=1 et de l'equation on a 1\x+1\y=1+3\z >1 ....

@darkpseudo , qu'on est-il de l'equation si x,y,z£ Z^3 .

Heuu x,y dans Z ?
Bahh déjà ils peuvent pas être tout les deux négatifs , supposons x positifs et y négatif alors :
posant b=-y il nous faut donc résoudre :
1/x-1/b-3/z=1 ce qui implique à bz=xbz+xz+3xb petit bémol on doit avoir xbz=<bz donc x=<1 donc x=1 et dans cas il est facile de voir qu'on a pas de solution , sauf erreur .

ou encore l'equation revient a : yz+xz=xyz+3xy le membre de gauche est symétrique alors assumant dans celui ci que z>=y>z on 2xy<yz+xz=xyz+3xy d"ou z>=-1 , pour z=-1 on a l"équation revient a : 1\x +1\y =-2 d"'ou x=y=-1 . ainsi le couple (-1,-1,-1) vérifie l’équation . pour z >=1 on revient au premier cas , finalement un triplet s"ajoute .

Oty a écrit:

x,y,z {N^3} et tout 3 différent de 0 , donc x,y,z >=1 et de l'equation on a 1\x+1\y=1+3\z >1 ....

(x,y,z)de N*^3 ==> x,y,z >1 certes.
Mais on a si x>1 ==> 1/x <1 et 1/y<1 et 3/z<3 ^^
d'où: 1/x+1/y<2 . Non ?

P.S: C'est plutôt =< pas < dsl faute de frappe.

Soukaina Amaadour a écrit:

Oty a écrit:

x,y,z {N^3} et tout 3 différent de 0 , donc x,y,z >=1 et de l'equation on a 1\x+1\y=1+3\z >1 ....

(x,y,z)de N*^3 ==> x,y,z >1 certes.
Mais on a si x>1 ==> 1/x <1 et 1/y<1 et 3/z<3 ^^
d'où: 1/x+1/y<2 . Non ?

ui si tu veux , tu peux procédé ainsi sa doit surement donner un résultat .

Bref, je vois que cette équation a une infinité de solution.
On peux donc considérer cette solution : S={(1,y,3y)/quelque soit y de IN*;(x,1x3x) quelque soit x de IN*}

Oty a écrit:

ou encore l'equation revient a : yz+xz=xyz+3xy le membre de gauche est symétrique alors assumant dans celui ci que z>=y>z on 2xy<yz+xz=xyz+3xy d"ou z>=-1 , pour z=-1 on a l"équation revient a : 1\x +1\y =-2 d"'ou x=y=-1 . ainsi le couple (-1,-1,-1) vérifie l’équation . pour z >=1 on revient au premier cas , finalement un triplet s"ajoute .

Dans mon truc j'avais supposé z positif vu que tu n'as rien dis dessus .