Inégalité Ultra-facile .

bon je propose celle là : (a,b,c) > 0 avec a²+b²+c² = 1

M.Q :

On pose a=max(a,b,c) l'inégalité est équivalente a : f(a)+f(b)+f(c) >= 2rac(3) ou : , puisque la f'(x) = - (1\x^2 +1 ) < 0 , il s'ensuit que f(b)+f(c) >= f(a)+f(a)=2f(a) (car b < a , c < a) d'ou il suffit de montrer l'inégalité pour b=c=a , et LHS >= 3f(a) = 2rac(3) (ou a=b=c) .

joli ta méthode bon je vais vous montrer ma démarche :

on pose f(x) = 1/x - x , f est convexe dans ]0,1]


d'après Jensen : f(a) + f(b) + f(c) >= 3 f(a+b+c / 3)


donc il suffit de démontrer que f(a+b+c / 3) >= 2 rac 3 /3

on a : f(rac3 /3) = 2 rac 3 / 3 ==> qu'il faut démontrer que f(a+b+c /3) >= f(rac3 /3)

comme f est décroissante dans ]0.1]

il suffit de démontrer que a+b+c /3 =< rac 3/3

<==> a+b+c =< rac 3

ce qui est juste avec C.S

Oty a écrit:

a,b,c > 0 tel que : a+b+c=3 ; Démontrer que :

ingo <=> sigma( 1/a) +9>= 4/3 (sigma (rac a))(sigma ( 1/rac a)) ..

d'apres cs on a :(sigma (rac a))(sigma ( 1/rac a)) >= 9

alors: sigma( 1/a) +9>= 4/3 *9=12 <=>sigma 1/a >=3
<=> sigma 1/a * sigma a >= 3 *sigma a (avec sigma a = 3)
<=> sigma 1/a * sigma a >=9
ce qui est juste

Maths_BT a écrit:

je suis nouveau au Forum , veuillez m'expliquer ce que vous voulez dire par '' Jensen '' ?

tu px voir ce lien ------> http://bkristof.free.fr/ ......chapitre 22

killua 001 a écrit:

ingo <=> sigma( 1/a) +9>= 4/3 (sigma (rac a))(sigma ( 1/rac a)) ..

d'apres cs on a :(sigma (rac a))(sigma ( 1/rac a)) >= 9

alors: sigma( 1/a) +9>= 4/3 *9=12 <=>sigma 1/a >=3
<=> sigma 1/a * sigma a >= 3 *sigma a (avec sigma a = 3)
<=> sigma 1/a * sigma a >=9
ce qui est juste

tu as montrer B > C et A > C , il faut montre A>B ....

alidos a écrit:

bon je propose celle là : (a,b,c) > 0 avec a²+b²+c² = 1

M.Q :

déjà posté ici
l'originale ici (Problem 608)

Prouver que cette inégalité est toujours vrai pour tout réels a,b :

oui ,ou bien (a-b)² ( 2a²+(a+b)²) si on veut

Oty a écrit:

oui ,ou bien (a-b)² ( 2a²+(a+b)²) si on veut

oui c vrai

Montrer que :

le développement ce réduit a : \sum z (x-y)² >=0 .

abdelkrim-amine a écrit:

Montrer que :

Voici ce que j'ai fait:
On pose: a=x+y, b=x+z et c=y+z. L'inégalité à démontrer devient:

... la dernière inégalité est équivalente à Schur dans le cas t=1.

[quote= ]

alidos a écrit:

bon je propose cet exo

x et y et z des réels avec


Trouvez Le Maximum De :

pour az360 c faux on attend une solution [/quote] posonsT=a^3+b^3+c^3-3abc et t=a+b+c on a 2T=t(3-t²)
donc 8T²=2t²×(3-t²)×(3-t²)<={(2t²+3-t²+3-t²)/3}^3=8 d'apres am-gm
donc T²<=1 d'ouT<=1 c.a.d 1est la valeur maximale elle est atteint pour t=1 c.a.d les triplets(1,0,0)et(0,1,0) et(0,0,1)

[quote= ]

alidos a écrit:

bon je propose cet exo

x et y et z des réels avec


Trouvez Le Maximum De :

pour az360 c faux on attend une solution [/quote]


posonsT=a^3+b^3+c^3-3abc et t=a+b+c on a 2T=t(3-t²)
donc 8T²=2t²×(3-t²)×(3-t²)<={(2t²+3-t²+3-t²)/3}^3=8 d'apres am-gm
donc T²<=1 d'ouT<=1 c.a.d 1est la valeur maximale elle est atteint pour t=1 c.a.d les triplets(1,0,0)et(0,1,0) et(0,0,1) j'attend votre observations merci!!!!!!!!!!!!!!

La valeur maximale =1 , c juste -_-

quand est t'il si la condition était : xyz=1 ou si xy+yz+xz=1 , Problème ouvert .

jolie solution Mr ''younes'' , Bravo .

alidos a écrit:

salut tous

On pose f(x) = 1/1+x²

on remarque que f est concave dans ]0.1]

d'après Jensen :

Salut,
Je parcourais le forum par hasard :p et j'ai remarqué que :



Comment donc peut-elle être concave dans ]0,1] ?

ma solution pour l’inégalité propose par oty

http://latex.codecogs.com/gif.latex?on&space;\&space;a&space;\sum&space;\frac{1}{a}&space;&plus;&space;9&space;\geq&space;\frac{4}{3}\sum&space;\sqrt{a}\sum&space;\frac{1}{a}&space;\\&space;\Leftrightarrow&space;\&space;\sum&space;a\sum&space;\frac{1}{a}&space;&plus;&space;27&space;\geq&space;4\sum&space;\left&space;(&space;\sqrt{\frac{a}{b}}&plus;\sqrt{\frac{b}{a}}&space;\right&space;)&space;&plus;12&space;\\&space;\Leftrightarrow&space;\sum&space;\left&space;(&space;\frac{a}{b}&space;&plus;&space;\frac{b}{a}&space;\right&space;)&space;&plus;18&space;\geq&space;4\sum&space;\left&space;(&space;\sqrt{\frac{a}{b}}&plus;\sqrt{\frac{b}{a}}&space;\right&space;)\\&space;\Leftrightarrow&space;\sum&space;\left&space;(&space;\sqrt{\frac{a}{b}}&plus;\sqrt{\frac{b}{a}}&space;-2\right&space;)^{2}\geq&space;0&space;\&space;avec&space;\&space;egalite&space;\&space;ssi&space;\&space;a=b=c=1&space;.