équation intéressante

Résudre en R²+ l'equatin suivante :
x^x=y^y

lamperouge a écrit:

Résudre en R²+ l'equatin suivante :
x^x=y^y

x^x=y^y alors : exp(x ln(x))=exp(y ln(y))
ce qui donne que x ln(x) = y ln(y) .
deja la premiere idée :p enfin j'espere que c'est le bon chemin

princessdesmaths a écrit:

x^x=y^y alors : exp(x ln(x))=exp(y ln(y))
ce qui donne que x ln(x) = y ln(y) .
deja la premiere idée :p enfin j'espere que c'est le bon chemin

Je ne peux rien affirmer vu que je ne connais po trop en fonctions logarythme et exponentiels (On n'as po encore étudié)
néanmoins j'ai utilisé une méthode où on n'as po besoin de passer par les intégrales et qui mène diréctement à la solution . Je vous laisse le temps d'y réfléchir

lamperouge a écrit:

princessdesmaths a écrit:

x^x=y^y alors : exp(x ln(x))=exp(y ln(y))
ce qui donne que x ln(x) = y ln(y) .
deja la premiere idée :p enfin j'espere que c'est le bon chemin

Je ne peux rien affirmer vu que je ne connais po trop en intégrales et fonctions exponentiels (On n'as po encore étudié)
néanmoins j'ai utilisé une méthode où on n'as po besoin de passer par les intégrales et qui mène diréctement à la solution . Je vous laisse le temps d'y réfléchir
Amicalement

je trouverai du temps pour s'y mettre une fois que j'eu fini mes concours

l'equation est symétrique , quitte a assumer x>=y , si x > y alors x^x >y^x >y^y d'ou la seul possibilité x=y . @princessedemaths verifie si f(x)=xln(x) est injective (monotone sur R+)

Oty a écrit:

l'equation est symétrique , quitte a assumer x>=y , si x > y alors x^x >y^x >y^y d'ou la seul possibilité x=y . @princessedemaths verifie si f(x)=xln(x) est injective (monotone sur R+)

ouais bonne idée merci

Oty a écrit:

l'equation est symétrique , quitte a assumer x>=y , si x > y alors x^x >y^x >y^y d'ou la seul possibilité x=y . @princessedemaths verifie si f(x)=xln(x) est injective (monotone sur R+)

nn l'implication que tu as fait n'est po valable pour tt x et y de R+ elle n'est valable que pour des réels x et y supérieur strictement a 1

bon alors je vais clarifier un peu plus : pour x>y>0 ,=> il exist un t>1 tel que x=ty , soit x^x=ty^ty=(t)^ty . y^ty =b^y . c^t ou c=y^y et b=t^t , b^y . c^t - c= c(b^y.c^{t-1}-1) = 0 donc c=0 implique y=0 et x=0 , ou (b^y)(c^{t-1})=1 soit ( by^t-1)^y=1 soit b(y^{t-1})=1 => (ty)^t = y ce qui impossible car t>1 d'ou x=y sont les seul solution , on a tu trouvé d'autre ?

lamperouge a écrit:

princessdesmaths a écrit:

x^x=y^y alors : exp(x ln(x))=exp(y ln(y))
ce qui donne que x ln(x) = y ln(y) .
deja la premiere idée :p enfin j'espere que c'est le bon chemin

Je ne peux rien affirmer vu que je ne connais po trop en fonctions logarythme et exponentiels (On n'as po encore étudié)
néanmoins j'ai utilisé une méthode où on n'as po besoin de passer par les intégrales et qui mène diréctement à la solution . Je vous laisse le temps d'y réfléchir

je n'ai pas utilisé l'integrale

je reviens sur ma methode , pour detailler mon point de vue , je n'ai fait que traduire l'equation en fonction :
on x^x=y^y
implique que xln(x) = yln(y)
prenons maintenant la fonction a variable réel strictement psitif :
pour tout x appartenant a IR+* : f(x) = xln(x)
alors f'(x) = ln(x)+1
il suffit de tracer le tableau de variation et deja la fonction f est continue
dans les deux intervalles il s'agit d'une fonction monotone ce qui implique que f etablie une bijection , d'où : x=y solution .
ça va ?

nn il existe d'autres solutions avec x=/=y
Exemples:
x=1/4 et y=1/2
x=V3/9 et y=V3/3
etc .........
Bref il existe une infinité de solutions avec x=/=y
(Je posterai ma solution demain )

lamperouge a écrit:

nn il existe d'autres solutions avec x=/=y
Exemples:
x=1/4 et y=1/2
x=V3/9 et y=V3/3
etc .........
Bref il existe une infinité de solutions avec x=/=y
(Je posterai ma solution demain )

maintenant , il faut tout d'abord trouver la faute que j'ai comise

Oty a écrit:

bon alors je vais clarifier un peu plus : pour x>y>0 ,=> il exist un t>1 tel que x=ty , soit x^x=ty^ty=(t)^ty . y^ty =b^y . c^t ou c=y^y et b=t^t , b^y . c^t - c= c(b^y.c^{t-1}-1) = 0 donc c=0 implique y=0 et x=0 , ou (b^y)(c^{t-1})=1 soit ( by^t-1)^y=1 soit b(y^{t-1})=1 => (ty)^t = y ce qui impossible car t>1 d'ou x=y sont les seul solution , on a tu trouvé d'autre ?

pk ce qui est en rouge est impossible
Si y est inférieur à 1 c tt à fait possible
Continue tu y es presque

princessdesmaths a écrit:

maintenant , il faut tout d'abord trouver la faute que j'ai comise

Je ss vraiment désolé mais je n'ai aucune connaissance sur les propriétés de ln(x) donc je ne vois po comment je pourrais remarquer la faute que tu as commise ts ce que je peux confirmer est que f(x)=x^x n'est po bijective sur R+

Bon je propose une solution pour cette équation :
soit x et y des solutions de l'équation
Il est clair que x=0 ne verifie pas l'equation et même chose pour y=0
donc soit x et y tt deux differents de 0
et Posons y=rx tel que r£R
l'equation deviendra alrs :
x^x=((rx)^r)^x
(i.e) x=(rx)^r
(i.e) x^(r-1)=(1/r)^r
(i.e) x=(1/r)*((1/r)^(1/r-1)) et y =(1/r)^(1/r-1)
et il est facil de vérifier que c bel et bien les solutions de l'équation

lamperouge a écrit:

Bon je propose une solution pour cette équation :
soit x et y des solutions de l'équation
Il est clair que x=0 ne verifie pas l'equation et même chose pour y=0
donc soit x et y tt deux differents de 0
et Posons y=rx tel que r£R
l'equation deviendra alrs :
x^x=((rx)^r)^x
(i.e) x=(rx)^r
(i.e) x^(r-1)=(1/r)^r
(i.e) x=(1/r)*((1/r)^(1/r-1)) et y =(1/r)^(1/r-1)
et il est facil de vérifier que c bel et bien les solutions de l'équation

oui au début j'etais convaincu que les seul solution etait si x=y c'est pour ca que je n'ai pas pousser ma tentative jusqu'a la fin , mais apres tes contres exemples j'ai trouvé cette forme aussi , Bravo . en effet (ty)^t=y donne y^{t-1}=1\t^t ....

X=Y pourquoi vous compliquez les choses

amine-crazy a écrit:

X=Y pourquoi vous compliquez les choses

amine regarde en haut la réponse d'Oty, x=y n'est pas la seule solution.